लैंग की परिभाषा सबरिंग (?)

Question

लश्कर $A$ एक अंगूठी की एक सबरिंग हो $B$। लश्कर$S$ का सबसेट हो $B$ साथ आ रहा है $A$; दूसरे शब्दों में हमारे पास है$as=sa$ सबके लिए $a\in A$ तथा $s\in S$। हम द्वारा निरूपित करते हैं$A[S]$ सभी तत्वों का समूह $$\sum a_{i_1\ldots i_n}s_1^{i_1}\ldots s_n^{i_n}$$ की परिमित संख्या से अधिक राशि $n$-tuples $(i_1,\ldots i_n)$ पूर्णांकों की $\geq0$, तथा $a_{i_1,\ldots,i_n}\in A$, $s_1,\ldots,s_n\in S$।

मैं यह सेट-बिल्डर नोटेशन के संदर्भ में कैसे बता सकता हूं? (इस सेट को क्या कहा जाता है? मुझे नहीं लगता कि "उत्पन्न सबरिंग" सही है।)

Answer 1

परिभाषा वास्तव में भ्रामक है, यहां तक ​​कि इसकी सही व्याख्या की जा सकती है। संकेतन$a_{i_1\ldots i_n}$ यह बताता है कि सामने गुणांक है $s_1^{i_1} \cdots s_n^{i_n}$ केवल घातांक पर निर्भर करता है $i_1, i_2, \ldots, i_n$ लेकिन तत्वों पर नहीं $s_1, s_2, \ldots, s_n$; यह मामला नहीं है। @ QiaochuYuan की सुझाई गई औपचारिकता से इसमें सुधार नहीं होता है।

एक साफ रूप में परिभाषा को फिर से लिखने के लिए एक अच्छा तरीका है यदि कोई वास्तव में प्रयास करने के लिए समय लेता है (जो लैंग ने ऐसा नहीं किया है)। कुंजी कई चरणों में आगे बढ़ना है:

• परिभाषित करें a $S$-गुणवत्ता के कई तत्वों का एक उत्पाद होना$S$। (इसमें खाली उत्पाद शामिल है$1$।)

• अगर $U$ का सबसेट है $B$, फिर एक बाएं परिभाषित करें$A$तत्वों के तत्वों का मिश्रण संयोजन $U$ एक तत्व का रूप होना $\sum_{i=1}^k a_i u_i$, कहाँ पे $k$ एक nonnegative पूर्णांक और कहाँ है $a_1, a_2, \ldots, a_k \in A$ तथा $u_1, u_2, \ldots, u_k \in U$।

• परिभाषित $A\left[S\right]$ सभी के सेट होने के लिए छोड़ दिया $A$का संयोजन संयोजन $S$-monomials।

ध्यान दें कि यहां "बाएं" शब्द का एकमात्र उद्देश्य सामान्यता है; हमारे विशिष्ट मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कारकों को बाईं ओर या दाईं ओर रखते हैं, क्योंकि हर तत्व$A$ के हर तत्व के साथ काम करता है $S$ और इस प्रकार (प्रेरण द्वारा) भी हर के साथ $S$-monomial।

Answer 2

मुझे यकीन नहीं है कि इस परिभाषा पर आपकी क्या आपत्ति है; यह एक अच्छी परिभाषा है और यह वास्तव में के सबरिंग को परिभाषित करता है$B$ द्वारा उत्पन्न $A$ तथा $S$। उदाहरण के लिए, जैसे कि संकेतन का उपयोग करना आम है$k[x^2, x^3]$ की सबरंग को निरूपित करना $k[x]$ द्वारा उत्पन्न $k$ तथा $x^2, x^3$। एक समतुल्य परिभाषा (इसके लिए थोड़ा सा प्रमाण चाहिए होता है)

$$A[S] = \bigcap_{A \subseteq C \subseteq B, S \subseteq C} C$$

या शब्दों में, $A[S]$ के सभी उपखंडों का प्रतिच्छेदन है $B$ दोनों से युक्त $A$ तथा $S$। सेट-बिल्डर नोटेशन में हमारे पास बस है

$$A[S] = \{ b \in B : \exists i_1, i_2, \dots i_n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}, a_{i_1 \dots i_n} \in A, s_i \in S \text{ s.t. } b = \sum a_{i_1 \dots i_n} \prod s_j^{i_j} \}$$

जो सिर्फ एक ही चीज है लेकिन क्वांटिफायर का एक गुच्छा है। क्या यह अब स्पष्ट है? ध्यान दें कि हमें तत्वों की आवश्यकता है$S$ साथ आना $A$ गारंटी के लिए कि यह सबसेट लिखित के रूप में गुणा के तहत बंद है।

Answer 3

हालांकि यह सच है कि "सभी अभिव्यक्तियों ... लंबाई" जैसी चीजों को कहने की पूरी तरह से स्वीकृत / स्वीकार्य परंपरा है $n$, चर के लिए $n$... ", और / या" के रूप में अभिव्यक्त कुछ भी ... ", यहां संभावित अस्पष्टता है, या कम से कम पाठक से कुछ सहयोग की आवश्यकता है, मुझे लगता है। :) यह जरूरी नहीं कि एक बुरी चीज है, लेकिन, जबकि। हम तर्क दे सकते हैं कि "परिभाषा" की यह शैली हममें से कई लोगों के लिए काफी सहज है, इसकी आलोचना की जा सकती है।

हाथ में उदाहरण में, छल्ले के साथ $A\subset B$ तथा $S\subset C$, एक औपचारिक रूप से बहुत स्पष्ट, लेकिन सहज रूप से murky, की परिभाषा $A[S]$, "की सबरंग $B$ द्वारा उत्पन्न $A$ तथा $S$", सभी उपखंडों के चौराहे के रूप में $B$ जिसमें दोनों शामिल हैं $A$ तथा $S$। किस तरह के भाव प्रकट होते हैं, इस बारे में कोई टिप्पणी नहीं की गई है और न ही किसी तत्व के बारे में कोई टिप्पणी$S$ के तत्वों के साथ आवागमन की आवश्यकता है $A$। यह पूरी तरह से अच्छी तरह से परिभाषित है, हालांकि।

ध्यान दें कि दो चीजें होने के लिए कोई आज्ञा नहीं थी, $A$ तथा $S$। यह किसी भी सबसेट को लेने के लिए पर्याप्त होगा$A\cup S$। विवरण स्पष्टता को प्रभावित करते हैं।

एक बेहतर ज्ञात एनालॉग जिसमें समान विशेषताएं हैं "उपसमूह $\langle S\rangle$ समूह के $G$ द्वारा उत्पन्न $S\subset G$"। यह कहना शायद सबसे अधिक सहज है कि यह उपसमूह सभी" शब्दों "का संग्रह है जिसमें शामिल तत्व हैं $S$और उनके आक्रमण। "शब्द" क्या हैं का एक छोटा सा तर्कपूर्ण / दार्शनिक मुद्दा है ... फिर किसी को यह साबित करना होगा कि यह एक उपसमूह है। इसके विपरीत, उपसमूह को सभी उपसमूह के प्रतिच्छेदन के रूप में जाना जा सकता है$G$ सबसेट युक्त $S$। यह लक्षण वर्णन अस्पष्टता और संकेतन पर निर्भरता को हटा देता है ...