मंजिल समारोह बाउंडिंग
CMC से:
वास्तविक संख्याओं के वर्ग का योग क्या है $x$ जिसके लिए $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?
हम उपयोग करते हैं $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ और अंत में सीमा प्राप्त करें $1\le x\le19$ तथा $x\ge 18,x\le 2.$ बेशक, यह संभव है $x$ पूर्णांक नहीं होना चाहिए, इसलिए हम अन्य समाधानों को कैसे खोजते हैं, के अलावा अन्य $19$ तथा $1$?
किसी ने लिखा यह हल:
$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ साफ़ करना $x\geq \lfloor x \rfloor$ सभी वास्तविक के लिए $x$। इस प्रकार,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ जिससे होता है $$1 \leq x \leq19.$$इसके अलावा $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ जो ये दर्शाता हे $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$।
मुझे यकीन नहीं है कि हम कैसे प्राप्त करेंगे $\lfloor x\rfloor=17,18$ इस से।
जवाब
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$
यह स्पष्ट है कि $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$।
फिर, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} साथ से $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ तथा $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$। कृपया, के लिए जाँच करें$\ds{\color{red}{x < 0}}$।
$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$
अंतर्ज्ञान यह है कि समाधान के समाधान से बहुत दूर नहीं मिलता है $x^2-20x+19=0$, अर्थात् $x=1, 19$। तो आगे बढ़ो और उस अंतर्ज्ञान को व्यक्त करो! मेरी आदत नहीं है$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$। तो चलिए अधिक दानेदार विधि के लिए चलते हैं।
चलो $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$। इसलिए$0\le u < 1$। $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ विस्तार हमें मिलता है $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ हम वह जानते हैं $u \in [0,1)$। तो इस समीकरण को उस अंतराल में एक समाधान मिला। यह दो होगा? इसका मतलब यह होगा कि इन दो समाधानों का योग 0. से अधिक है। लेकिन वीटा के प्रमेय से यह संभव नहीं है। इसलिए, अंतराल में वास्तव में 1 समाधान है$[0,1)$। यदि वह समाधान ठीक 0 है, तो$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ इसलिए $n = 1,19$। यदि नहीं, तो हम देखते हैं कि फ़ंक्शन$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ अंतराल पर बिल्कुल एक बार साइन बदलना चाहिए $(0,1)$। इसलिए$f(0)f(1) < 0.$ इसका मत $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ जो हम कर सकते हैं कारक: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (व्यवहार में आपको उतनी सटीकता की आवश्यकता नहीं है, बस आपको अभिन्न अंग की गणना करने की आवश्यकता है।) चूंकि $n$ एक पूर्णांक है, $n=17, 18.$ (आप देख सकते हैं क्यों? मैं अनुरोध पर आगे बताऊंगा।)
उपादान $n=17$ तथा $n=18$, हम के लिए समीकरण मिलता है $u$क्रमशः। और यह नियमित द्विघात समीकरण बन जाता है।
से $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$, हम देखते हैं कि हमारे पास होना चाहिए $x\gt0$, इसलिये $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(यानी, सकारात्मक, नकारात्मक नहीं, वर्गमूल)। यह इस प्रकार है कि$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ के साथ एक (अद्वितीय) समाधान है $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ अगर और केवल अगर $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$। गैर-नकारात्मक दृष्टि में सब कुछ के साथ, हमारे पास है
$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$
अंतिम पंक्ति में पहली द्विघात असमानता हमें बताती है $1\le n\le19$; दूसरा हमें बताता है$n\lt9-\sqrt{61}$ या $n\gt9+\sqrt{61}$, जो, तब से $7\lt\sqrt{61}$या तो हमें बताता है $n\lt2$ या $n\gt16$। इस प्रकार हमारे पास चार मान हैं$\lfloor x\rfloor=n$, अर्थात् $1$, $17$, $18$, तथा $19$, साथ से $20n-19$ के संगत मूल्यों के लिए $x^2$। इन वर्गों का योग है
$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$
(तथ्य यह है कि अंतिम उत्तर की शक्ति निकलती है $2$ निश्चित रूप से शुद्ध संयोग है।)