में एक वेक्टर फ़ील्ड के लिए हत्या समीकरण को हल करें $\mathbb{R}^2$ यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ
मुझे पता है कि वेक्टर क्षेत्र $$X = a_1\partial_1 + a_2\partial_2$$ कहाँ पे $a_1,a_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ चिकनी है, पर एक हत्या क्षेत्र है $\mathbb{R}^2$ यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ $dx_1^2 + dx_2^2$।
मुझे किसिंग समीकरण को हल करना है $$\mathcal{L}_X(dx_1^2 + dx_2^2) = 0$$ के लिये $a_1$ तथा $a_2$।
मुझे पता है कि मुझे लेई व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करना होगा और यह पता लगाना होगा कि शून्य के बराबर है लेकिन मैं गणना के साथ थोड़ा संघर्ष कर रहा हूं, क्या कोई मेरी मदद कर सकता है?
मैं कार्टन के सूत्र का उपयोग करने के बारे में सोच रहा था, क्या यह एक अच्छा तरीका है?
जवाब
चलो $U$,$V$ तथा $X$ तीन वेक्टर क्षेत्र हो और $g$मीट्रिक टेन्सर क्षेत्र हो। फिर, {start {align} \ left (L_Xg \ right) (U, V) और = X \ cdot g (U, V) - g (L_XU, V) - g (U, L_XV) \\ और = g ( \ nabla_XU, V) + g (U, \ nabla_XV) - g (L_XU, V) -g (U, L_XV) \\ & g (\ nabla_XU - L_XU, V) + g (U, \ nabla_XV-L_XV) \\ & g (\ nabla_UX, V) + g (U, \ nabla_VX) \ end {संरेखित करें} इस प्रकार,$L_Xg=0$ अगर और केवल अगर हर वेक्टर फ़ील्ड के लिए $U$ तथा $V$, $$ g(\nabla_UX,V) + g(U,\nabla_VX) = 0 $$ वह है, यदि और केवल यदि $\nabla X : U \mapsto \nabla_UX$ एक तिरछा-सममित ऑपरेटर है।
यदि $g$ का यूक्लिडियन मीट्रिक है $\mathbb{R}^2$, हर वेक्टर क्षेत्र $U$ का एक सुगम संयोजन है $\partial_1$ तथा $\partial_2$, तथा $$ L_Xg = 0 \iff g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_1) = 0,~ g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) \text{ and } g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) = -g(\partial_1,\nabla_{\partial_2}X) $$ अगर $X = a_1\partial_1 + a_2 \partial_2$, याद करें कि $\partial_1$ तथा $\partial_2$ के लिए समानांतर हैं $g$, और: \ start {align} \ nabla _ {\ आंशिक_1} X & = \ nabla _ {\ आंशिक_1} \ बाएँ (a_1 \ आंशिक_1 + a_2 \ आंशिक_2 \ दाएँ) \\ & = (\ आंशिक_1_1) \ आंशिक_1 + (\ आंशिक_1a_2) ) \ part_2 \\ \ nabla _ {\ आंशिक_2} X & = \ nabla _ {\ part_2} \ left (a_1 \ आंशिक_1 + a_2 \ आंशिक_2 \ दाएँ) \\ & = (\ आंशिक_2a_1) \ आंशिक_1 + (\ आंशिक_2a_2) \ आंशिक_2 \ अंत {संरेखित} इसलिए,$X$एक हत्या वेक्टर क्षेत्र है अगर और केवल अगर \ start {align} \ आंशिक_1a_1 & = 0, & \ आंशिक_2a_2 & = 0, & \ आंशिक_1a_2 और = - \ आंशिक_2 a_1 \ end {संरेखित करें} तो मैं आपको गणना जारी रखने देता हूं।
महत्वपूर्ण टिप्पणी कार्टन जादू फार्मूला के साथ सावधानी रखें। यह कहता है कि एक विभेदक रूप के लिए $\omega$, $L_X \omega = (d\circ i_X + i_X\circ d)\omega$। एक टेंसर सामान्य रूप में, एक विभेदक रूप नहीं है। एक सरल कारण यह क्यों समझ में नहीं आता है: यह है कि आप कैसे परिभाषित करते हैं$dg$ कब $g$ मीट्रिक टेंसर है?