मुख्य आदर्श क्या है $p$?

Question

मैं एमिटे बीजगणित का अध्ययन कर रहा हूं, ड्यूमिट की पुस्तक के साथ।

हमारे प्रोफेसर ने एक लेम्मा पेश किया, और मैं कुछ अवधारणा के साथ भ्रमित हूं।

यहाँ लेम्मा है: "चलो $R$ एक अभिन्न डोमेन हो, और चलो $p$ में हो $R$। फिर$p$ अगर है और केवल अगर ही प्राइम है $R_p$ (प्रमुख आदर्श द्वारा उत्पन्न $p$) एक नॉनजरो प्राइम आदर्श है। ”

इस लेम्मा का प्रमाण कहता है कि $p$ अगर है और केवल अगर ही प्राइम है $ab$ द्वारा विभाज्य है $p$ फिर $x$ या $y$ द्वारा भी विभाज्य है $p$, और यह उसी के साथ है $ab$ में $R_p$ इसका आशय है $a$ या $b$ में भी है $R_p$, और यह वैसा ही है $R_p$ एक प्रमुख आदर्श है।

मुझे नहीं पता कि क्यों "$p$ अगर है और केवल अगर ही प्राइम है $ab$ द्वारा विभाज्य है $p$ फिर $x$ या $y$ द्वारा भी विभाज्य है $p$, और यह उसी के साथ है $ab$ में $R_p$ का तात्पर्य $a$ या $b$ मे भी $R_p$। "प्रमुख आदर्श किसके द्वारा उत्पन्न होता है $p$? इसका मतलब हर आदर्श है$R$ द्वारा उत्पन्न होता है $p$, सही? लेकिन हम ऐसा कैसे कह सकते हैं$ab$ में $R_p$ इसका आशय है $a$ या $b$ में भी है $R_p$?

Answer 1

किसी दिए गए तत्व के लिए $x$ एक कम्यूटेटिव अनिटल रिंग का $R$, द्वारा उत्पन्न आदर्श $x$ बस सेट है $Rx$इसके गुणकों के। उदाहरण के प्रमुख आदर्श$2$ में $\Bbb Z$ सम संख्याएँ होती हैं।

अभी, $ab\in Rp$ कहने जैसा ही है $p$ विभाजित $ab$, और इस प्रकार वह शर्त $Rp$ एक प्रमुख आदर्श स्थिति के साथ मेल खाता है $p$ एक प्रमुख तत्व है।

ध्यान दें कि आदर्श ' कुछ के कई होने' की अवधारणा को सामान्य बनाते हैं ।