निरंतर स्पेक्ट्रा और माप
मान लीजिए कि मेरे पास एक कण है जिसकी गति मैं मापता हूं $p$ अनिश्चितता के साथ $\delta p$। माप के ठीक बाद हम जानते हैं कि इसका तरंग कार्य किसके द्वारा दिया गया है$\psi(x)=\int g(p)e^{ipx/\hbar}dp$ (सादगी के लिए 1 डी तक सीमित) के साथ $g$ एक निश्चित कार्य है $0$ बाहर $p-\delta p$, $p+\delta p$ और साथ $\int |g(p)|^2dp=1$।
उस फ़ंक्शन के बारे में हम और क्या कह सकते हैं $g$?
मैं इसके बारे में अधिक कुछ नहीं कह पाने के कारण ठीक था, लेकिन मुझे यह स्वीकार करना होगा, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि $g$जितना होना चाहिए, उससे अधिक कभी एकाग्र नहीं होता। उदाहरण के लिए, अगर हम स्टर्न-गेरलच प्रयोग से कैनन का उपयोग करते हैं (जो लगभग 500 मीटर / सेकंड में चांदी के परमाणुओं को फेंकता है) और इसे एक दरवाजे के मध्य में निर्देशित करता है, तो हमें समय-समय पर उछलते हुए परमाणुओं को देखना चाहिए। वास्तव में अगर$g$अत्यंत केंद्रित है, जिसके परिणामस्वरूप लहर काफी फैल सकती है और एक विवर्तन प्रभाव देख सकता है। लेकिन हम कभी नहीं करते।
जवाब
यह माप से पहले की स्थिति पर निर्भर करता है। यदि पूर्व-माप तरंग कुछ द्वारा दी गई है$\psi_i(x)$, फिर पोस्ट-माप तरंग $\psi_f(x)$ का प्रक्षेपण है $\psi_i(x)$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष के उप-स्थान पर जो आपके माप परिणामों के अनुरूप है।
अधिक सहमति से, चलो $$\psi_i(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$
यदि आप अंतराल में होने की गति को मापते हैं $p\in[p_0-\delta p, p_0 + \delta p]$ इसके बाद की माप की स्थिति बस है $$\psi_f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{p_0-\delta p}^{p_0 + \delta p} A(p) e^{ipx/\hbar}dp$$
एक साइड नोट के रूप में, सामान्यीकरण स्वचालित रूप से माप द्वारा संरक्षित नहीं किया जाता है, लेकिन यह ठीक है क्योंकि क्वांटम राज्य प्रक्षेप्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के तत्व हैं और केवल वैसे भी एक समग्र गुणक स्थिरांक तक अच्छी तरह से परिभाषित हैं। यह आमतौर पर लहर को सामान्य करने के लिए सुविधाजनक है, लेकिन ध्यान दें कि आपको एक अनुमानित माप के बाद इसे फिर से सामान्य करना होगा।
"यदि आप जिस अंतराल में 𝑝 को मापते हैं वह काफी छोटा है, तो आप उस अंतराल पर एक स्थिर फ़ंक्शन के रूप में in अनुमानित कर सकते हैं" क्यों?
क्योंकि जब तक है $A$ कम से कम निरंतर है, तो एक छोटे से अंतराल के लिए $g$
बल्कि बहुत कुछ इस तरह दिखता है
यदि आप मान लें, जैसा कि मेरी पाठ्यपुस्तक बहुत स्पष्ट रूप से करती है, कि वास्तव में एक स्थिर के साथ लगभग as कर सकते हैं, लेकिन मैं इस धारणा को कहीं भी नहीं देखता।
नहीं, यह एक तरंग पैकेट के लिए अनिश्चितता सिद्धांत का एक सीधा अनुप्रयोग है। विवर्तन प्रभावों का निरीक्षण करने के लिए, आपको कम से कम परिमाण में छेद के आकार के रूप में अपने वेवपैक के प्रसार की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए एक गाऊसी लहर पैकेट जो अनिश्चितता के संबंध को फैलाता है, में फैलता है$p$ में फैलाने के लिए आनुपातिक है $x$, जिसका अर्थ है कि एक बड़ा स्थानिक निरूपण एक काल्पनिक रूप से स्थानीयकृत गति से मेल खाता है।