ऑटोमोर्फिक असतत स्पेक्ट्रा की विशेषता
मैंने हाल ही में मॉएग्लिन और वाल्डसपर्गर की पुस्तक "स्पेक्ट्रल अपघटन और ईसेनस्टीन श्रृंखला" से ऑटोमैटिक स्पेक्ट्रल अपघटन के बारे में सीखा। (मुझे इसे मेगावाट कहते हैं)
मेरे पास असतत स्पेक्ट्रा के लक्षण वर्णन के बारे में एक प्रश्न है।
मुझे MW के रूप में मूल संकेतन की व्याख्या करने दीजिए।
लश्कर $G$ बीजीय क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रिडक्टिव ग्रुप हो $k$ तथा $\xi$ का एकात्मक चरित्र हो $Z_G(A)$।
लश्कर $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ होना $L^2$-परिवर्तन $G(k)\setminus G(A)$ केंद्रीय चरित्र के साथ $\xi$।
फिर, $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ ईसेनस्टीन श्रृंखला के पुनरावृत्त अवशेषों और इसके पूरक द्वारा उत्पन्न अंतरिक्ष में विघटित होता है, जिसका वर्णन ईसेनस्टीन श्रृंखला के प्रत्यक्ष अभिन्न लोगों द्वारा किया गया है। (MW, IV 2.1)
मुझे पहली जगह कहते हैं $L^2_d$।
(मुझे लगता है कि $L^2_d$ की अवधि का समापन है $L^2$ में स्वचालित रूप $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$।)
मुझे अर्ध-सरल भाग यानी हिल्बर्ट को स्थैतिक रूप से अप्रासंगिक उप-प्रस्तुतीकरण के प्रत्यक्ष योग कहते हैं $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$एक नाम से $L^2_{ss}$।
असतत स्पेक्ट्रम और निरंतर और बुनियादी गुणों की परिभाषा
ऊपर के लेख में, इसे असतत स्पेक्ट्रम कहा जाता है।
मेरे सवाल हैं
- कर रहे हैं $L^2_d$ तथा $L^2_{ss}$ वही?
- यदि हां, तो इसे कैसे साबित किया जाए? क्या हम इसे प्राथमिक कार्यात्मक विश्लेषण के माध्यम से साबित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए वाल्टर रुडिन द्वारा पुस्तक "फंक्शनल एनालिसिस का ज्ञान") जैसे कि गेलफेंड-ग्रेव-पटेत्स्की-शापिरो के प्रमेय के प्रमाण जैसे कि पुच्छल मामले में?
मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि $L^2_d$ शामिल $L^2_{ss}$, लेकिन मुझे आश्चर्य है कि क्या यह सच है। मैं इस प्रश्न को हल करने के लिए किसी भी सुराग की सराहना करूंगा। धन्यवाद!
संपादित: मैंने एक और प्रश्न और परिभाषा को जोड़ा $L^2_{ss}$टिप्पणियों के अनुरूप। टिप्पणियों के लिए धन्यवाद!
जवाब
यह स्वीकार करने योग्य है $L^2_{d}$।
दावा १। $L^2_{d}$ स्वीकार्य है।
सबूत के स्केच
यदि के-प्रकार को निर्धारित किया जाता है, तो के-प्रकार और के साथ ऑटोमोर्फिक रूपों के असीम वर्णों की सीमित संभावनाएं हैं$L^2_{d}$, हरीश-चन्द्र स्वीकार्यता प्रमेय के द्वारा, ईसेनस्टीन श्रृंखला के अवशेषों के निर्माण और निर्माण के लिए (cf। MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
तो, हरीश-चंद्र प्रवेश प्रमेय, अंतरिक्ष द्वारा फिर से।$L^2_{d}$ स्वीकार्य है।
दावा 2 जी का एकात्मक एकात्मक प्रतिनिधित्व ($\mathbb{A}$) अर्धविराम हैं।
सबूत के स्केच
यह पता चलता है कि हर अशून्य स्वीकार्य एकात्मक representions एक अलघुकरणीय subrepresentation है पर्याप्त होता। (तो यह Zorn प्रेमयिका लेमा द्वारा इस प्रकार है।)
Let$\pi$एक गैर-जासूसी एकात्मक पुनरावृत्ति होना। फिर, K- प्रकार का एक सीमित सेट है$\mathcal{F}$ ऐसा है कि $\mathcal{F}$के सामान्य भाग $\pi$, कहते हैं $\pi_\mathcal{F}$नॉनवेज है।
लश्कर$e_\mathcal{F}$ जी के हेके बीजगणित में समान रूप से उदासीन रहें, $\mathcal{H}(G)$, और जाने $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ होना $e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$। (सीएफ। Corvallis p183, Flath के लेख, और नैप-Vogan के अध्याय मैं।)
तो फिर$\pi_\mathcal{F}$ विडंबनापूर्ण प्रस्तुतिकरण है, $\rho_\mathcal{F}$ का $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ और यह जी उत्पन्न करता है ($\mathbb{A}$) -सुबह $\rho$।
हम दावा करते हैं कि$\rho$बेमतलब है।
अन्यथा,$\rho$ दो समुचित बंद उप-प्रस्थानों का प्रत्यक्ष योग $\rho_{1}$ तथा $\rho_{2}$।
पर प्रोजेक्ट कर रहा है$\rho_\mathcal{F}$, दोनों में से कोई $(\rho_i) _\mathcal{F}$नॉनवेज है। की बेअदबी से$\rho_\mathcal{F}$, दोनों में से कोई $(\rho_i)$ बराबरी $\rho$और विरोधाभास। (इस प्रमाण को पूरा करने के लिए, हमें कुछ कार्यात्मक विश्लेषण का उपयोग करना चाहिए, उदाहरण के लिए व्लाक के वास्तविक पुनर्वितरण समूहों के 1.6.6 देखें।)