परिमेय पर आयतनकारी आयतन
के सबसेट पर एक nonnegative विस्तारित वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन है $\mathbb{Q}^3$ कि पतझड़ सेट, अनुवाद invariant, और outputs पर अंतिम रूप से additive है $(\text{length} \times \text{width} \times \text{height})$बक्से के लिए? यह लेब्सेग माप सिद्धांत का एक उल्लेखनीय परिणाम है कि ऐसा कोई भी कार्य जो कि बहुत अधिक योज्य नहीं है$\mathbb{Q}^3$ या $\mathbb{R}^3$। मैं सोच रहा था कि क्या एक ही additive सेट कार्यों के लिए सच है$\mathbb{Q}^3$। यदि हां, तो यह सुझाव प्रतीत होता है कि मात्रा की सहज धारणा को औपचारिक बनाने के लिए कुछ मौलिक बाधा है।
जवाब
मैं प्रत्येक प्राकृतिक के लिए अनुमान लगाता हूं $n$ हम एक आवश्यक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं $\mu$ पर $\Bbb Q^n$निम्नलिखित नुसार। चलो$G=\Bbb Q^n/\Bbb Z^n$ भागफल समूह हो और $q:\Bbb Q^n\to G$भागवत समरूपता हो। समूह$G$ एबेलियन है और इसलिए यह amenable है (उदाहरण के लिए, [प्रतिबंध] कोरोलरी 2.9 से देखें), जो है $G$ शिफ्ट-इनवेरियंट फाइनेंसियल एडिटिव माप को स्वीकार करता है $\nu$, ऐसा है कि $\nu(G)=1$। प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए$A$ का $\Bbb Q^n\cap [0,1)^n$ डाल $\mu(A)=\nu(q(A))$। अब छोडो$A$ का कोई सबसेट हो $\Bbb Q^n$। फिर$A=\bigcup \{A_{x}:x\in \Bbb Z^n\}$, कहाँ पे $A_x=(x+[0,1)^n)\cap A$ प्रत्येक के लिए $x\in\Bbb Z^n$। डाल$\mu(A)=\sum_{x\in\Bbb Z^n}\mu(A_x-x)$।
मुझे लगता है कि अगर $A$ एक बॉक्स है तो सही मूल्य है $\mu(A)$ निम्नानुसार दिखाया जा सकता है।
लेम्मा। प्रत्येक के लिए$k=1,\dots,n$, से प्रत्येक $y\in Q$, $\mu(A\cap H)=0$, कहाँ पे $H $ एक हाइपरप्लेन है $\{(x_1,\dots, x_n)\in\Bbb Q^n:x_k=y\}$।
सबूत । प्रत्येक के लिए$x\in\Bbb Z^n$ और प्रत्येक प्राकृतिक $N$, समूह $G$ शामिल $N$ प्रतियों का तिरस्कार करें $g_1+q((A\cap H)_x-x), g_2+q((A\cap H)_x-x),\dots, g_N+q((A\cap H)_x-x)$ एक सेट की $ q((A\cap H)_x-x)$ कुछ तत्वों के लिए $g_1,\dots,g_N\in G$। जबसे$\mu$ शिफ्ट-इनवेरिएंट और बारीक एडिटिव है, यह इस प्रकार है $\mu q((A\cap H)_x-x)\le 1/N$।
अब अगर $A$ एक बॉक्स तो प्रत्येक है $A_x$ एक बॉक्स है (संभव है, इसकी "सीमा" के बिना) इसलिए इसका सही मूल्य है $\mu(A)$ एक सेट की सुंदरता से पालन करना चाहिए $X=\{ x\in\Bbb Z^n: A_x\ne\varnothing\} $, परिमित योगात्मकता $\mu$, और का सही मान $\mu(A_x)$ प्रत्येक के लिए $x\in X$। उत्तरार्द्ध को दोनों की परिमित संवेदनशीलता से पालन करना चाहिए$\mu$ तथा $\nu$, का सही मूल्य $\mu(B)$ बुनियादी ब्लॉकों की $B$ फार्म का $B=\Bbb Q^n\cap \prod [r_i/s_i, (r_i+1)/s_i$, जहां प्रत्येक के लिए $i$, $0\le r_i<s_i$ किसी भी पूर्णांक, और सेट का एक विभाजन है $A_x$ बुनियादी ब्लॉकों के संघ में (उनकी सीमाओं तक)।
संदर्भ
[बान] तारास बानख, https://arxiv.org/abs/1312.5078।