पथरी के मौलिक सिद्धांत पर प्रश्न

Question

इस सवाल के जवाब में ( जब हम एक चर के अनिश्चित अभिन्न मूल्यांकन करते हैं, तो यह किस क्षेत्र में होता है? ) मैंने निम्नलिखित लिखा है:

अब, यदि हम दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं $h$ हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं: $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x)}{2}$$ लेकिन हम देख सकते हैं कि बाईं ओर की अभिव्यक्ति व्युत्पन्न की परिभाषा है, $F'(x)$, के लिये $F(x)$, हमारे क्षेत्र संचायक समारोह। तो हम लिख सकते हैं$$F'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)$$

मेरा सवाल है, समानता के दाहिने हाथ पर हम मूल रूप से ऐसा कहते हैं $$\lim_{h\to0}f(x+h)=f(x)$$हालाँकि, हम बाएं हाथ की तरफ भी ऐसा क्यों नहीं कहते हैं; यानी हम क्यों नहीं लिखते (इसके बजाय$F'(x)$) $$\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{F(x)-F(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=\infty$$ यदि हम दाहिने हाथ की ओर लिखने के लिए तैयार हैं तो बाएं हाथ की ओर अर्थहीन क्यों नहीं हो जाता है $\lim_{h\to0}f(x+h)=f(x)$?

आपके सहयोग के लिए धन्यवाद। यदि पथरी के मौलिक सिद्धांत की मेरी व्युत्पत्ति गलत है तो कृपया मुझे बताएं और मुझे इसे सुधारने में मदद करें :)

Answer 1

जैसा कि कई लोगों द्वारा टिप्पणियों पर ध्यान दिया जाता है, यहां मुद्दे पर दो चीजें हैं।

सबसे पहले, आप एक जटिल अभिव्यक्ति नहीं ले सकते हैं और केवल इसके भाग की सीमा का मूल्यांकन कर सकते हैं, और फिर इसके बाकी हिस्सों में। अगर आपको कुछ पसंद है$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{x},$$ सीमा है $1$ (चूंकि फ़ंक्शन मान लेता है $1$ हर पर $x\neq 0$); लेकिन आप पहले अंश की सीमा का मूल्यांकन नहीं कर सकते (जो है)$0$), और फिर परिणामी अभिव्यक्ति की सीमा का दावा है कि सीमा है $0$।

तो आप पहले के अंश की सीमा को नहीं कर सकते $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$और फिर अभिव्यक्ति करें। आपको पूरी अभिव्यक्ति करने की आवश्यकता है। यह है: आप एक अभिव्यक्ति के भीतर सीमा के टुकड़े की गणना नहीं कर सकते हैं: आपको एक ही समय में संपूर्ण या उसके सभी भागों की सीमा की गणना करनी चाहिए।

दूसरा, एक "सीमा कानून" है (वास्तव में सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए एक प्रमेय) जो कहता है:

प्रमेय। लश्कर$g(x)$ तथा $h(x)$ कार्य करें, और मान लें $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$ तथा $\lim\limits_{x\to a}h(x) = M$दोनों मौजूद हैं। फिर:

1. $\lim\limits_{x\to a}\bigl(g(x)+h(x)\bigr) = L+M$;
2. $\lim\limits_{x\to a}g(x)h(x) = LM$;
3. अगर $M\neq 0$, फिर $\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{L}{M}$।

इसका उपयोग करते हुए इसे काफी सरलता से स्थापित किया जा सकता है $\epsilon$-$\delta$ एक सीमा की परिभाषा, हालांकि यह सुनिश्चित करने के लिए 3 में कुछ तकनीकी काम किया जाना है $h(x)$ से दूर है $0$। इन सीमा कानूनों को कभी-कभी छोटा कर दिया जाता है

एक राशि की सीमा सीमा का योग है (यदि वे दोनों मौजूद हैं); उत्पाद की सीमा सीमा का उत्पाद है (यदि वे दोनों मौजूद हैं); एक भागफल की सीमा उस सीमा का भागफल है यदि हर की सीमा नहीं है$0$ (और दोनों मौजूद हैं)।

हम दाहिने हाथ में इन "सीमा कानूनों" का उपयोग कर सकते हैं: भाजक स्थिर है और सीमा है $2\neq 0$; इसलिए$$\lim{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x)}{2} = \frac{\lim\limits{h\to 0}\bigl( f(x+h)+f(x)\bigr)}{\lim_{h\to 0}2} = \frac{f(x)+f(x)}{2} = f(x),$$ सीमा कानून और इस तथ्य का उपयोग करना $f(x)$ अंतराल में हर जगह निरंतर होना माना जाता है, इसलिए $\lim\limits_{h\to 0}f(x+h) = f(x)$; वास्तव में, हमने अंश की सीमा की गणना करने के लिए सीमा 1 कानून का उपयोग किया।

आप इस कानून / प्रक्रिया को बाएं हाथ की ओर से लागू नहीं कर सकते, क्योंकि वहाँ हर की सीमा होती है $\lim\limits_{h\to 0}h = 0$। इसलिए आप अंश और हर की सीमा को अलग-अलग नहीं ले सकते। आपको पूरी अभिव्यक्ति के साथ किसी तरह से निपटना होगा (जाहिर है कि इसे करने के तरीके हैं, या कोई व्युत्पन्न कभी भी गणना नहीं की जा सकती है; लेकिन आप दाहिने हाथ की तरफ इस्तेमाल किए गए सीमा कानूनों का उपयोग नहीं कर सकते हैं)।

(एक तरफ के रूप में, उस समय ध्यान दें $\lim\limits_{h\to 0}f(x+h) = f(x)$ क्योंकि हम ऐसा मान रहे हैं $f$ निरंतर है, हमने यह साबित नहीं किया है $F$ निरंतर है, इसलिए आप भी वास्तव में इस दावे को सही नहीं ठहरा सकते हैं $\lim\limits_{h\to 0}F(x+h)=F(x)$ जब तक आप निरंतरता साबित नहीं करते।)