पिकार्ड समूह बनाम वर्ग समूह
प्रश्न।
लश्कर $R$एक कम्यूटेटिव रिंग बनें। लश्कर$M$ सेम $R$-मॉडल के साथ संपत्ति है कि वहाँ मौजूद है $R$-मापांक $N$ ऐसा है कि $M\otimes_R N\cong R$। क्या हमेशा एक आदर्श मौजूद होता है$I$ का $R$ ऐसा है कि $M$ isomorphic है $I$ एक के रूप में $R$-मापांक? (मुझे इस व्यापकता में संदेह नहीं है)
पृष्ठ - भूमि।
लश्कर $R$एक कम्यूटेटिव रिंग बनें। यहाँ दो समूह हैं जिन्हें कोई भी जोड़ सकता है$R$।
- "वर्ग समूह"।
पहला समूह "संख्या सिद्धांत से प्रेरित" है। एक के आदर्श लेता है$R$और देखते हैं कि उनके पास एक प्राकृतिक गुणन है जो उन पर परिभाषित है। एक दो आदर्शों को परिभाषित करता है$I$ तथा $J$अगर गैर-अस्तित्वकर्ता मौजूद हों तो इसके बराबर होना$s$ तथा $t$ ऐसा है कि $sI=tJ$। यह संबंध गुणन के साथ अच्छी तरह से निभाता है, हमें समतुल्यता वर्गों पर गुणा देता है (जब तक कि मैंने खराब नहीं किया है; मेरा संदर्भ "एक लिफाफे की गणना के पीछे" है)। यह समतुल्यता वर्गों को एक कम्यूटेटिव मोनॉइड बनाता है, और एक वर्ग समूह को परिभाषित कर सकता है$R$ इस मोनॉइड की इकाइयाँ, यानी एक उलटा तत्व।
नोट: कोई इसके बजाय भिन्नात्मक आदर्शों का उपयोग कर सकता है। भिन्नात्मक आदर्शों का सिद्धांत अक्सर केवल अभिन्न डोमेन के लिए स्थापित किया जाता है, और अगर मैंने ऊपर स्क्रू किया तो शायद मुझे अभिन्न डोमेन तक सीमित होना चाहिए। एक भिन्नात्मक आदर्श को एक भाजक के साथ एक अभिन्न आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह यहां परिभाषित समूह को बदलता है।
- पिकार्ड समूह।
दूसरा समूह "ज्यामिति से प्रेरित" है - यह पिकार्ड समूह है $\operatorname{Spec}(R)$। अधिक समवर्ती, समरूपता वर्गों के संग्रह (यह एक सेट नहीं है) को लें$R$-मॉड्यूल $M$। इसमें टेंसर उत्पाद से आने वाला गुणन है, और एक मोनोड के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है सिवाय इसके कि यह एक सेट नहीं है। हालांकि इस मोनॉइड की इकाइयां एक सेट हैं, क्योंकि एक लिफाफे की गणना के पीछे एक और संकेत मिलता है कि यदि$M\otimes_R N\cong R$ और हम लिखते हैं $1=\sum_i m_i\otimes n_i$, एक परिमित राशि, तब $m_i$ उत्पन्न $M$ एक के रूप में $R$-मॉड्यूल, हमें मोनॉइड की इकाइयों के आकार पर कुछ नियंत्रण दे रहा है - वे सभी एक समरूपता के समरूप हैं $R^n$इसलिए हमने एक सेट-थ्योरिटिक अर्थ में नियंत्रण हासिल कर लिया है। मोनॉइड की इकाइयाँ दूसरा समूह हैं।
सवाल यह है कि मेरी ओर से यह समझाने की कोशिश की जा रही है कि ये समूह सामान्य रूप से समान नहीं हैं (क्योंकि मुझे वास्तव में उनसे समान होने की उम्मीद नहीं है)। अगर$R$ एक Dedekind डोमेन है (इसलिए $\operatorname{Spec}(R)$ एक चिकनी चक्करदार अवस्था है) तो हमारे पास यहाँ की शास्त्रीय परिभाषा और वर्ग समूह की फैंसी परिभाषा है $R$, और प्रश्न का उत्तर "हाँ" है। इसका कारण यह है कि हर रैंक 1 अनुमान है$R$-मॉडल एक आदर्श के लिए आइसोमोर्फिक है $R$; अगर मैं सही ढंग से याद करूं तो आम तौर पर हर रैंक$n+1$ प्रक्षेपीय $R$-मॉड्यूल isomorphic to है $I\oplus R^n$ कुछ आदर्श के लिए $I$ (यह किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के लिए कम से कम सच है) जो आपको शून्य'ह अल्बग्रिक की गणना करने में सक्षम बनाता है $K$-group (Grothendieck group) का $R$। लेकिन आम तौर पर इससे ज्यादा मुझे यकीन नहीं है कि क्या चल रहा है।
पर divisors विकिपीडिया पृष्ठ मैं "पढ़ा हर लाइन बंडल$L$ पर $X$ इंटीग्रल नोथेरियन स्कीम पर कुछ कार्टियर डिविज़न की क्लास है "जो मुझे लगता है कि परिणाम नथेरियन इंटीग्रल डोमेन के लिए सही हो सकता है, लेकिन मुझे वहां भी प्रमाण नहीं दिखता है (शायद यह मानक है)। जिस तरह से इसे बनाया गया है, वह गलत है। आश्चर्य है कि क्या नॉन-नोथेरियन काउंटरटेम्पल्स हैं।
जवाब
यहाँ हार्टशोर्न से उपर्युक्त प्रमाण को कुछ हद तक सामान्य करने का प्रयास किया गया है।
दावा: चलो$R$ एक अंगूठी हो जिसका कुल अंश भिन्न हो $R_{\mathrm{tot}}=S_{\mathrm{nzd}}^{-1}R$आर्टिआन है। फिर कोई उलटा$R$-मॉड्यूल एक अयोग्य आदर्श में आइसोमोर्फिक है।
(परिकल्पना निम्नलिखित दो "प्राकृतिक" मामलों में कम से कम रखती है:
- $R$ एक डोमेन है, जो अभिन्न योजनाओं के मामले से मेल खाता है,
- $R$ एम्बेडेड घटकों के बिना एक नोथेरियन अंगूठी है, यानी $\mathrm{Ass}\,R$ न्यूनतम प्राइमरों का सेट है, जिसमें स्पेक्ट्रम के मामले हैं $R_{\mathrm{tot}}$ इन न्यूनतम primes के ठीक होते हैं, इसलिए है $0$आयामी
प्रमाण: हार्टशोर्न से प्रमाण के रूप में एक आय। एक उल्टे मॉड्यूल को देखते हुए$M$, यह निरंतर रैंक का एक स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल है $1$, और ऐसा ही है $R_{\mathrm{tot}}$-मापांक $M \otimes_R R_{\mathrm{tot}}$। जैसा$R_{\mathrm{tot}}$ आर्टिनियन है, रैंक का कोई भी स्थानीय रूप से मुक्त मॉड्यूल $1$ वास्तव में रैंक का एक मुफ्त मॉड्यूल है $1$, और इस प्रकार हमारे पास है $$M=M\otimes_R R\hookrightarrow M\otimes_R R_{\mathrm{tot}}\simeq R_{\mathrm{tot}}.$$ यह अहसास कराता है $M$ एक के रूप में $R$-सुबमोडुले $M'$ का $R_{\mathrm{tot}}$। यह सूक्ष्मता से उत्पन्न होता है (क्योंकि$M$ है), आइए हम इन जनरेटर को बुलाते हैं $a_1/s_1, \dots, a_n/s_n \in R_{\mathrm{tot}}.$ परन्तु फिर $s=s_1s_2 \dots s_n$ का एक गैर-शून्य विभाजक है $R$, और हमारे पास है $sM' \subseteq R$। इस प्रकार,$M$ एक आदर्श के लिए एक आदर्श है $I:=sM'$। $\square$
(मुझे लगता है कि अनुमान को थोड़ा और शिथिल किया जा सकता है, ऐसा मानकर $R_{\mathrm{tot}}$स्थानीय छल्ले (का सिर्फ एक परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद है : संपादित करें , वास्तव में और भी अधिक बस यह सोचते हैं कि द्वारा$\mathrm{Pic}(R_{\mathrm{tot}})=1$) का है। लेकिन मैं किसी भी नए "प्राकृतिक" मामलों को नहीं जानता जो यह प्रदान करेगा।]
मैं मान लूंगा $R$अपने अंश क्षेत्र में अभिन्न रूप से बंद है। लश्कर$A$ का अर्धवार्षिककरण हो $R$ सभी अधिकतम आदर्शों पर जहां $R$तथ्यात्मक नहीं है। (अर्थात्,$A=S^{-1}R$ कहां है $S$ उन सभी अधिकतम आदर्शों के मिलन का पूरक है।) फिर $Pic(R)$ अंदर बैठता है $Cl(R)$ और वास्तव में नक्शे का कर्नेल है $Cl(R)\rightarrow Cl(A)$।
यह फ़ॉसम के एक पेपर में कहीं होना चाहिए, हालांकि मेरे पास इसका संदर्भ नहीं है।