प्रमुख गिनती समारोह के लिए सीमा

Question

प्रमुख गिनती समारोह $\pi(x)$के रूप में परिभाषित किया गया है \ begin {समीकरण} \ pi (x) = \ sum_ {पी \ Leq x} 1 \ अंत {समीकरण} जहां$p$primes पर चलाता है।
मैंने कई सीमाएं देखी हैं$\pi(x)$जैसे कि \ start {समीकरण} \ frac {x} {\ log x} \ left (1+ \ frac {1} {2 \ log x} \ right) <\ pi (x) <\ frac {x} {\ _ log x} \ left (1+ \ frac {3} {2 \ log x} \ right) \ end {समीकरण} \ start {समीकरण} \ frac {x} {\ log x - 1/2} <\ pi ( x) <\ frac {x} {\ log x + 3/2} \ end {समीकरण} \ start {समीकरण} \ frac {x} {\ log x + 2} <\ pi (x) <\ frac {x } {\ log x - 4} \ end {समीकरण} अब तक, प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन के लिए सबसे अच्छा ऊपरी और निचले सीमा क्या हैं? क्या कोई बेहतर बाध्यता है$\mathrm{Li}(x)$?

Answer 1

प्राइम नंबर प्रमेय के निम्नलिखित स्पष्ट संस्करण को ट्रुड्यूज़न द्वारा सिद्ध किया गया था :$$ |\pi(x)-\mathrm{li}(x)|<x e^{-0.39\sqrt{\ln x}},\qquad x\geq 229.\tag{$\ ast$}$$ वास्तव में ट्रुड्यूज़न की प्रमेय 2 कुछ हद तक मजबूत है $(\ast)$, और गणितज्ञ के साथ इसकी वैधता का विस्तार करना सीधा है $(\ast)$ सेवा $x\geq 2$।