प्रतिपादक के साथ पुनरावृत्ति अनुक्रम
आवर्ती अनुक्रमों और जनरेटिंग फ़ंक्शंस के साथ काम करना, मैं आम तौर पर सामान्य अभिव्यक्ति को हल करने में खो जाता हूं $a_n$ किसी के लिए $n$ जब अनुक्रम के अगले भाग, कि है $a_{n+1}$, एक घातांक के रूप में है, ऐसा $a_n = a_{n-1} +k^{n-1}$, जहां k कुछ स्थिर है। मुझे इस समस्या के बारे में कोई सुराग नहीं है।
मैंने दो विकृत शब्दों को घटाकर और अनुक्रम को स्थानांतरित करके फाइबोनैचि अनुक्रम को हल किया है, लेकिन यह यहां काम नहीं करता है।
मैं विशेष रूप से साथ काम कर रहा हूं $a_n = 2a_{n-1} + 5^{n-1}$, लेकिन अनुक्रम बहुत तेजी से फैलता है। आधार मामला,$a_{0} = 1$।
किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी!
जवाब
हम साधारण निर्माण कार्यों का उपयोग करते हैं। चलो$A(x) = \sum_{i=0}^n a_n x^n$। फिर हमारे पास (योग से) है$n=1$)
\ start {align} a_n & = 2a_ {n-1} + 5 ^ {n-1}, \\ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nx ^ n & = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2a_ {n-1} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ n, \\ A (x) - a_0 & = 2x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_ {n-1} x ^ {n-1} + x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ {n-1}, \\ A (x) - 1 & = 2x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n} x ^ {n} + x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty 5 ^ {n} x ^ {n}, \\ A (x ) - 1 & = 2xA (x) + \ frac {x} {1-5x}, \\ A (x) - 2xA (x) और = \ frac {x} {1-5x} + 1, \\ A (x) & = \ frac {x} {(1-2x) (1-5x)} + \ frac {1} {1-2x}। \\ \ end {संरेखित} अब हम आंशिक अंश विघटन और एक बिट का उपयोग करते हैं बीजगणित प्राप्त करने के लिए
\ start {align} A (x) & = \ frac {1} {3 (1-5x)} - \ frac {1} {3 (1-2x)} + \ frac {1} {1-2x} \ \ & = \ frac {1} {3} \ बाईं (\ frac {1} {(1-5x)} + \ frac {2} {(1-2x)} \ right) \\ & = \ frac {1 } {3} \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 5 ^ nx ^ n + 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ nx ^ n \ right)। \ अंत {align}
यहाँ से हम देखते हैं $$a_n = \frac{5^n + 2^{n+1}}{3}.$$
क्योंकि जिस के साथ आप अभी काम कर रहे हैं, वह पहले क्रम में है, आप बस इसे 'खोल' सकते हैं:
$$\begin{align*} a_n&=2a_{n-1}+5^{n-1}\\ &=2\left(2a_{n-2}+5^{n-2}\right)+5^{n-1}\\ &=2^2a_{n-2}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^2\left(2a_{n-3}+5^{n-3}\right)+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^3a_{n-3}+2^2\cdot5^{n-3}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^ka_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}2^i5^{n-1-i}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^na_0+\sum_{i=0}^{n-1}2^i5^{n-1-i}\\ &=2^na_0+5^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac25\right)^i\\ &=2^na_0+5^{n-1}\cdot\frac{1-\left(\frac25\right)^n}{1-\frac25}\\ &=2^na_0+\frac{5^n-2^n}3 \end{align*}$$
मुझे दूरबीन से प्यार है।
अगर $a_n = ua_{n-1} + vc^{n} $, फिर $\dfrac{a_n}{u^n} = \dfrac{a_{n-1}}{u^{n-1}} + v(c/u)^{n} $।
चलो $b_n = \dfrac{a_n}{u^n}$। फिर$b_n =b_{n-1}+vd^n $ कहाँ पे $d = c/u$।
फिर $b_n-b_{n-1} =vd^n $।
जोड़ने पर,
$\begin{array}\\ b_m-b_0 &=\sum_{n=1}^m (b_n-b_{n-1})\\ &=\sum_{n=1}^m vd^n\\ &=v\dfrac{d-d^{m+1}}{1-d}\\ &=vd\dfrac{1-d^{m}}{1-d}\\ \end{array} $
इसलिए
$\begin{array}\\ \dfrac{a_m}{u^m} &=a_0+vd\dfrac{1-d^m}{1-d}\\ \text{or}\\ a_m &=a_0u^m+\dfrac{vc}{u}u^m\dfrac{1-(c/u)^m}{1-c/u}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ \end{array} $
इस मामले में, $u=2, c=5, v = \frac15, a_0 = 1 $ इसलिए $a_m = 2^m + \dfrac{2^m-5^m}{2-5} = 2^m + \dfrac{5^m-2^m}{3} $।
इसे फिर से लिखा जा सकता है
$\begin{array}\\ a_m &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=\dfrac{(u-c)a_0u^m+vc(u^m-c^m)}{u-c}\\ &=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c}\\ \end{array} $
फिर, हम प्राप्त करते हैं $=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c} =\dfrac{(-3+1)2^m-5^{m}}{-3} =\dfrac{2\cdot 2^m+5^{m}}{3} $।
पहले इसे सजातीय बनाते हैं।
$$a_n-2a_{n-1} = 5^{n-1} $$ $$a_{n+1}-2a_n = 5^n $$ $$\Rightarrow a_{n+1}-2a_n=5(a_n-2a_{n-1}) \tag 1$$ $$\Rightarrow a_{n+1}-5a_n=2(a_n-5a_{n-1}) \tag 2$$
दोनों (1) और (2) ज्यामितीय अनुक्रम हैं, इसलिए
$$ a_{n+1}-2a_n = 5^n (a_1-2a_0) = 5^n (3-2)= 5^n \tag 3 $$ $$ a_{n+1}-5a_n = 2^n (a_1-5a_0) = 2^n (3-5)= -2^{n+1} \tag 4 $$ (3) - (4) $$ a_n = \frac{1}{3} (5^n + 2^{n+1}). \blacksquare $$
(कृपया मेरी पोस्ट देखें https://math.stackexchange.com/questions/3897344/show-that-for-every-positive-integer-f-n-frac-left-frac1-sqrt52-rig/3899525#3899525)