रैंडम iid रैंडम वेरिएबल्स दिए $\{X_n\}$दूसरे पल के साथ। साबित करना $n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$

Question

रैंडम iid रैंडम वेरिएबल्स दिए $\{X_n\}$दूसरे पल के साथ। कैसे सिद्ध करें?$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\rightarrow0$?

मैंने चेबीशेव असमानता की कोशिश की है:
$$n\cdot P\left(\left|X_{1}\right|\geq\epsilon\sqrt{n}\right)\leq n\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2n}=\frac{Var(X_1)}{\epsilon^2}$$लेकिन यह काम नहीं किया क्योंकि हमारे पास केवल दूसरे क्रम का समय है । क्या ऐसी कोई असमानता है जो चेबीशेव असमानता से अधिक नाजुक है?

Answer 1

$nP(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n) \leq n\frac { \int_{E_n} |X_1|^{2}dP} {\epsilon n}$ कहाँ पे $E_n=(|X_1| \geq \epsilon \sqrt n)$। इस तथ्य का उपयोग करें$\int_{E_n} |X_1|^{2}dP \to 0$ घटनाओं के बाद से $\int_{E_n} |X_1|^{2}$ खाली सेट और करने के लिए कमी $E|X_1|^{2} <\infty$।

Answer 2

मैं निम्नांकित निम्बू को सिद्ध करूँगा जिससे आपका उत्तर आएगा।

लश्कर $X$ एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर हो $\mathbb E(X)<\infty$। फिर$$n \mathbb P[X>n ]\rightarrow 0 \text{ as }n\uparrow \infty$$ प्रमाण: $\mathbb E(X)=\mathbb E(X\mathbb 1_{X\leq n})+\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n })$।

जबसे $X\mathbb 1_{X<n}\uparrow X$ जैसा $n\uparrow \infty$ और सभी यादृच्छिक चर गैर-नकारात्मक हैं, मोनोटोन कन्वर्जेंस प्रमेय द्वारा हमारे पास हैं $$\lim_{n\uparrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X<n})=\mathbb E(X)$$यह इस प्रकार है कि $$\lim_{n\rightarrow \infty }\mathbb E(X\mathbb 1_{X>n}) =0$$ जबसे $0\leq n\mathbb 1_{X>n}\leq X\mathbb1 _{X>n}$, हमें मिला $$0\leq \mathbb E(n\mathbb 1_{X>n})\leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})$$ $$\implies 0\leq n \mathbb P[ X>n ] \leq \mathbb E(X\mathbb1 _{X>n})\rightarrow 0 \text{ as }n\rightarrow \infty$$निष्कर्ष निकालने के लिए सैंडविच प्रमेय का उपयोग करें। अंत में अपनी समस्या को देखो$Z:=\frac{|X_1 |}{\epsilon}$