रेखीय मानचित्र पर $L^{2}$
के लिये $a\in L^{\infty}([0,1],\mathbb{K})$, हम परिभाषित करते हैं $$ M_{a}:L^{2}([0,1],\mathbb{K})\mapsto L^2([0,1],\mathbb{K}) $$ द्वारा द्वारा $$M_a(f)=x\to a(x)f(x)$$ ()$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ या $\mathbb{C}$)
- दिखाएँ कि यह एक रेखीय मानचित्र है और यह निरंतर है।
- वो दिखाओ $\Vert M\Vert_{\mathcal{L}(L^{2}([0,1],\mathbb{K}))}=\Vert a\Vert_{L^\infty([0,1],\mathbb{K})}$
- एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति की तलाश करें जिस पर एक फ़ंक्शन मौजूद है $f\in L^2([0,1],\mathbb{K})$ साथ से $\Vert f\Vert_{L^2([0,1],\mathbb{K})}=1$ ऐसा है कि $$ \Vert M_af\Vert_{L^2([0,1],\mathbb{K})}=\Vert a\Vert_{L^\infty([0,1],\mathbb{K})} $$
सबसे पहले, ले लो $a(x)=x$, फिर सामान्यीकरण करें।
मेरा काम:
- [उसी के लिए सबूत $a(x)=x$] $M_a$ के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है $f\in L^2([0,1],\mathbb{K})$, अपने पास $$\int_{[0,1]}\vert a(x)f(x)\vert^2dx\leqslant \int_{[0,1]}\Vert a\Vert_{L^\infty}^2\vert f(x)\vert^2dx=\Vert a\Vert_{L^\infty}^2\Vert f\Vert_{L^2}^2<\infty$$ यह दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में रैखिक है $\mathbb{K}$ एक बिलिनियर मानचित्र है $\mathbb{K}\times\mathbb{K}$।
लश्कर $f\in L^2([0,1],\mathbb{K})$ ऐसा है कि $\Vert f\Vert_{L^2}=1$। ऊपर असमानता दिखाती है कि$$\int_{[0,1]}\vert M_a(f)(x)\vert^2dx\leqslant \Vert a\Vert_{L^\infty}^2$$ तोह फिर $M$ निरंतर है और हमारे पास है $$\Vert M\Vert_{\mathcal{L}(L^{2}([0,1],\mathbb{K}))}\leqslant\Vert a\Vert_{L^\infty([0,1],\mathbb{K})}$$
- के लिये $a(x)=x$, जाने दो $\varepsilon>0$ और जाने $f\in L^2([0,1],\mathbb{K})$ ऐसा है कि $\Vert f\Vert_{L^2}=1$ तथा $Supp(F)\subset[1-\varepsilon,1]$। तो हमारे पास हैं$$ \begin{align*} \Vert M_a\Vert &\geqslant \Vert M_af\Vert_{L^2}\\ &=\int_{[1-\varepsilon,1]}\vert xf(x)\vert^2dx\\ &\geqslant 1-2\varepsilon+\varepsilon^2 \end{align*} $$ कब $\varepsilon\to0$, अपने पास $\Vert M\Vert=1$।
सामान्य मामले में, हम एक निश्चित के लिए भी कह सकते हैं $\varepsilon>0$, वहां मौजूद $\delta>0$ तथा $x_0\in[0,1]$ ऐसा लगभग सभी के लिए $x$ में $B(x_0,\delta)$, अपने पास $\vert a(x)\vert\geqslant\Vert a\Vert_{L^\infty}-\varepsilon$? अगर ऐसा है, तो ऊपर जैसा प्रमाण भी काम करता है।
- हमें यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि हम प्राप्त करें $f(x)a(x)=\Vert a\Vert_{L^\infty}$ एक्स के लिए ऐसा है कि $a(x)\neq 0$, और नुकसान की भरपाई के लिए जब $a(x)=0$। इसे करने का एक प्राकृतिक तरीका है परिभाषित करना$f(x)=\frac{\Vert a\Vert_{L^\infty}}{a(x)\sqrt{\lambda({a(x)\neq 0})}}$ अगर $a(x)\neq 0$ और 0 कहीं और (जहां $\lambda$Lebesgue उपाय को दर्शाता है)। हालाँकि, हम इसे इस विशेष के लिए प्राप्त करते हैं$f$ $$\Vert f\Vert_{L^2}=\frac{\Vert a\Vert_{L^\infty}}{\lambda({a(x)\neq 0})}\int \frac{1}{a(x)^2}dx$$ मुझे नहीं पता कि आगे कैसे बढ़ना है।
संपादित करें: प्रश्न संख्या 3) अभी भी किया जाना बाकी है।
जवाब
का उत्तर $(2)$ इस उत्तर में, मैं उपयोग करूंगा $L^2,L^\infty$ के बजाय सादगी के लिए $L^2\big([0,1],\Bbb K\big)$ तथा $L^\infty\big([0,1],\Bbb K\big)$। इसके अलावा, ये समतुल्यता वर्गों के समूह हैं, लेकिन मैं समतुल्यता वर्गों और उनके प्रतिनिधियों के बीच अंतर नहीं करूँगा, क्योंकि कोई भी दो प्रतिनिधि लगभग हर जगह समान हैं।
ऊपर से, हमारे पास है $$\int|\alpha\cdot f|^2\leq||\alpha||_\infty^2\int|f|^2,\text{ hence }||M_\alpha||\leq||\alpha||_\infty.$$ रिवर्स दिशा साबित करने के लिए, पहले मान लें $\alpha$ के साथ सरल कार्य है $\alpha\not\equiv 0$ और मापने योग्य सेट पर विचार करें $E=\alpha^{-1}(c)$, कहां है $|c|=||\alpha||_\infty$। जबसे,$\alpha$ हमारे पास गैर-तुच्छ सरल कार्य है $m(E)>0$, जैसा $|c|$ साधारण फ़ंक्शन का अधिकतम मूल्य है $|\alpha|$। अब, दे रहे हैं$$f=\frac{\chi_E}{\sqrt{m(E)}}\text{ we have }||f||_2=1 \text{ and }$$$$||M_\alpha(f)||_2=\frac{1}{\sqrt{m(E)}}\bigg(\int_E|\alpha|^2\bigg)^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{m(E)}}\bigg(m(E)||\alpha||_\infty^2\bigg)^{1/2}=||\alpha||_\infty.$$
तो हमारे पास $||M_\alpha||=||\alpha||_\infty$, इस मामले में। परंतु,$\alpha\equiv 0$ का तात्पर्य $||M_\alpha||=0=||\alpha||_\infty$, तुच्छ रूप से। तो, हम सरल कार्यों के लिए किया जाता है।
अब, मनमाने ढंग से बाध्य कार्य पर विचार करें $\psi$, और चूंकि सरल कार्य में घने हैं $L^\infty$ हमारे पास सरल कार्यों का एक क्रम है $\{\varphi_n\}$ साथ से $\lim||\psi-\varphi_n||_\infty=0$। अब,$$||M_\psi f-M_{\varphi_n}f||_2=||M_{\psi-\varphi_n}f||_2\leq ||\psi-\varphi_n||_\infty||f||_2\text{ for all }f\in L^2$$$$\implies \lim||M_\psi -M_{\varphi_n}||\leq\lim||\psi-\varphi_n||_\infty=0 $$$$\implies ||M_\psi||=\lim ||M_{\varphi_n}||=\lim||\varphi_n||_\infty=||\psi||_\infty.$$
तो, हम कर रहे हैं।