समकक्षता को मापने के लिए प्रतिपक्ष
सवाल। अगर$\mu_1$,$\mu_2$ अंतरिक्ष पर उपाय $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}^n)$, कहां है $\mathcal{B}^n$ बोरेल है $\sigma$- बीजगणित, और $$\mu_1\left(\prod_{i=1}^n (x_i, y_i]\right) = \mu_2\left(\prod_{i=1}^n (x_i, y_i]\right) \tag{1},$$ साथ से $x_i,y_i \in \mathbb{R}$, तो यह दिखाने के लिए एक प्रतिधारण प्रदान करें $\mu_1 \neq \mu_2$।
अब तक। एक लेम्मा है जिसके बारे में मुझे पता है कि इस से संबंधित है जहाँ अगर हमारे लिए (1) इसके बजाय,$\mu_1(\cdot) = \mu_2(\cdot) < \infty$, तब फिर $\mu_1 = \mu_2$। इसलिए, मेरा विचार यह है कि जब हम परिमितता को लागू नहीं करते हैं तो यह टूट जाती है। हालाँकि, मैं विशेष रूप से इसके प्रतिरूप के साथ आने में संघर्ष कर रहा हूँ। कोई विचार?
जवाब
लश्कर $\#$ अंतरिक्ष पर गिनती के उपाय हो $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}^n)$, कहां है $\mathcal{B}^n$ बोरेल है $\sigma$-बैलब्रिज बस ले लो$\mu_1= \#$ तथा $\mu_2= 2 \cdot \#$।
यह स्पष्ट है कि $\mu_1$, $\mu_2$ अंतरिक्ष पर उपाय हैं $(\mathbb{R}^n, \mathcal{B}^n)$, $$\mu_1\left(\prod_{i=1}^n (x_i, y_i]\right) = \mu_2\left(\prod_{i=1}^n (x_i, y_i]\right) = +\infty$$ यदि, सभी के लिए $i\in\{1, \cdots n\}$, $x_i < y_i \in \mathbb{R}$, तथा $$\mu_1\left(\prod_{i=1}^n (x_i, y_i]\right) = \mu_2\left(\prod_{i=1}^n (x_i, y_i]\right) = 0$$ यदि, वहाँ एक है $i\in\{1, \cdots n\}$ ऐसा है कि $x_i = y_i \in \mathbb{R}$। परंतु $\mu_1 \neq \mu_2$।