समारोह तुच्छ अंतःसक्रियता है
मैं प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर एक पाठ्यपुस्तक पढ़ रहा हूं जो निम्नलिखित कहता है।
$G$ एक अंतिम समूह है, जिसमें इरेड्यूबल प्रतिनिधित्व है $\rho:G\to GL(V)$ मैदान पर $k$ (संभवतः बीजगणितीय रूप से बंद, एक धारणा है कि सभी क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद हैं जो मैं निश्चित नहीं हूं कि इस पृष्ठ को पुस्तक में विस्तारित नहीं किया गया है)। $\phi$ से एक क्लास फंक्शन है $G$ सेवा मेरे $k$ संतोषजनक $(\phi,\chi_\rho)=0$। परिभाषित करें$$T=\frac{1}{\#G}\sum\limits_{g\in G}\phi(g^{-1})\rho_g.$$ पाठ का दावा है कि $T=0$। मुझे यकीन नहीं है कि यह कैसे देखना है। मैं देखता हूं क्यों$T\in End_GV$, तो यदि $k$ बीजगणितीय रूप से बंद है तो हम इसकी पहचान किसी तत्व के साथ कर सकते हैं $k$ (और परवाह किए बिना $End_GV$ Schur की लेम्मा द्वारा एक विभाजन वलय है), लेकिन मैं ऐसा क्यों नहीं देखता $T$ होना चाहिए $0$।
क्या कुछ ऐसा है जो मुझे यहाँ याद आ रहा है? अग्रिम में धन्यवाद।
जवाब
मुझे लगता है कि आप विशेषता शून्य में हैं।
जो आज्ञा, $T$ एक अदिश मैट्रिक्स (शूर की लेम्मा) है।
का निशान $T$ है $$\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\textrm{Tr}(\rho_g)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\chi_\rho(g)=(\phi,\chi_\rho)=0.$$ जैसा $T=\lambda I$ और फिर शून्य का पता लगाता है $\lambda=0$।
मान लीजिए $T=aI$ पहचान नक्शे का एक अदिश बहु है।
निशान पैदावार लेना $\mathrm{tr}(T)=(\dim V)a=(\phi,\chi)=0$, तोह फिर $a=0$।
(मै मानता हूँ $\dim V$ आधार क्षेत्र में उल्टा है।)