समूह एक समूह है?

Question

चलो $A$ एक गैर-खाली सेट हो, $+$ एक सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन है और प्रत्येक के लिए है $a$ में $A$दो नक्शे

1. $A \to A$ वह भेजता है $x$ सेवा $x+a$
2. $A \to A$ वह भेजता है $x$ सेवा $a+x$

विशेषण नक्शे हैं। प्रश्न यह निर्धारित करता है कि क्या$(A, +)$ एक समूह या नहीं?

मेरी समझ से $A$ एक समूह है, अगर इसकी पहचान है और हर तत्व का उलटा है, लेकिन मुझे पूरा यकीन नहीं है कि कैसे साबित करने के लिए इन जीवनी मानचित्रों का उपयोग किया जाए / इसे अस्वीकृत किया जाए $A$ एक समूह है।

Answer 1

तटस्थ तत्व (पहचान)

एक मनमाना तत्व ठीक करें $a$। नक्शे के बाद से$x \to a + x$ जीवनी है, तत्व है $a$ इस नक्शे के तहत वास्तव में एक उदाहरण है, अर्थात एक अद्वितीय तत्व मौजूद है $e$ ऐसा है कि $a + e = a$।

अगला कदम साबित करना है $\forall y: y + e = y$। मनमानी उठाओ$y$। मानचित्र की जीवनी द्वारा$x \to x + a$ वहाँ मौजूद है $x$ ऐसा है कि $x + a = y$। अब, जोड़ना$x$ समानता के लिए बाईं ओर $a + e = a$ (और सहयोगीता का उपयोग करके) हमें मिलता है $y + e = y$, qed।

इसलिए, $e$एक सही तटस्थ तत्व है। फिर ध्यान दें$e + e = e$, और ऊपर दिए गए तर्क के अनुसार $e$ एक वाम तटस्थ तत्व भी है।

प्रतिलोम

अंत में, हमें आक्रमणकारियों के अस्तित्व को साबित करने की आवश्यकता है। मनमानी उठाओ$x$। बाएँ और दाएँ जोड़ की विशेषण द्वारा, वहाँ मौजूद तत्व हैं$y_1$ तथा $y_2$ ऐसा है कि $y_1 + x = e$ तथा $x + y_2 = e$। अब ध्यान दें

$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$

इसलिए, $y_1$ (यह भी जो $y_2$) के लिए एक व्युत्क्रम है $x$।

Answer 2

एक विशिष्ट पहचान तत्व होना चाहिए:

एक अनूठा है $e_a$ प्रत्येक के लिए $a$ ऐसा है कि $ae_a=a$।

अब अनोखा लेकर $c$ ऐसा है कि $ca=b$, हमें वह मिलता है $cae_a=be_a$ और वह भी $cae_a=ca=b$, ताकि $be_a=b$ और इस तरह $e_a=e_b$।

इस प्रकार हमारे पास यह है कि एक अद्वितीय अधिकार उलटा है। इसी तरह एक अनोखा बायाँ उलटा है। अब हमें यह दिखाने की जरूरत है कि दोनों समान हैं। लेकिन यह आसान है, क्योंकि$e_le_r=e_r=e_l$।

अब जीवनी का तात्पर्य है एक अद्वितीय होना चाहिए $x_a$ ऐसा है कि $ax_a=e$। और इसी तरह एक अनोखी बात है$y_a$ ऐसा है कि $y_aa=e$। परन्तु फिर$y_aax_a=x_a=y_a$।

इस प्रकार, हम एक समूह के लिए चार शर्तों को पूरा कर चुके हैं, क्योंकि बंद करने और सहानुभूति अनिवार्य रूप से दी जाती है।

Answer 3

कम से कम परिमित के लिए $A$, हाँ, कि समूह के लिए पर्याप्त है।

कॉल $\theta_a$ तथा $\gamma_a$, क्रमशः, एक निश्चित तत्व द्वारा बाएँ और दाएँ अनुवाद नक्शे $a\in A$। अब, धारणा से,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ और (संबद्धता) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$। इसलिए (बंद)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, और इसलिए $\exists \tilde e\in A$ ऐसा है कि $\theta_{\tilde e}=Id_A$। इसी तरह, होने के नाते$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ ऐसा है कि $\gamma_{\hat e}=Id_A$; परंतु$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ और इसलिए बाएँ और दाएँ पहचान मेल खाते हैं, कहते हैं $e:=\tilde e=\hat e$।

अब, कब से $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, फिर $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ ऐसा है कि $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ या, समकक्ष, $a\tilde b=\hat ba=e$; इस उत्तरार्द्ध से हमें उदाहरण मिलते हैं $\hat ba=a\hat b$, जहां $a\tilde b=a\hat b$ या, समकक्ष, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, और अंत में $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$।