संख्या प्रणालियों के निर्माण पर

Question

हाल ही में, मैंने इस बारे में कुछ पढ़ा कि सेट सिस्टम को बनाने के लिए सेट थ्योरी का उपयोग कैसे किया जाता है (शुरुआत के साथ $\mathbb{N}$ और सेट का निर्माण $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}.$)

मैं इस मामले के बारे में और जानना चाहूंगा और इसके लिए मेरे दो सवाल हैं।

1. इस विषय का अध्ययन शुरू करने के लिए आवश्यक गणितीय पृष्ठभूमि क्या है? और आप किस किताब को प्रारंभिक के रूप में सुझाते हैं?

2. प्रारंभिक के बारे में कुछ अच्छी धारणाएँ होने के बाद, क्या आप मुझे संख्या प्रणालियों के निर्माण के बारे में एक अच्छी पुस्तक बता सकते हैं?

संक्षेप में, मुझे इस विषय के बारे में अच्छी समझ के लिए किस मार्ग का अनुसरण करना चाहिए?

किसी भी सुझाव का स्वागत है!

ध्यान देने के लिए आपका धन्यवाद!

Answer 1

एकमात्र शर्त लौकिक "गणितीय परिपक्वता" है। थोड़ा और विशिष्ट होने के लिए, आपको भोले सेट सिद्धांत की मूल बातों के साथ सहज होना चाहिए। बस कुछ उदाहरणों का हवाला देते हैं:

• आदेशित जोड़े के सेट के रूप में संबंध।
• प्रेरण द्वारा प्रमाण।
• तुल्यता संबंध और विभाजन के बीच संबंध।
• कैसे एक विशेषण समारोह $A\rightarrow B$ एक अनिवार्य संबंध के रूप में "अनिवार्य रूप से समान" है $A$।

यह एक व्यापक सूची नहीं है।

एक प्रसिद्ध पुस्तक है जिसमें निर्माण शामिल है $\mathbb{R}$ से $\mathbb{N}$: लांडऊ की नींव का विश्लेषण । यह एक गंभीर परिभाषा-प्रमेय शैली में लिखा गया है, जिसे लोग प्रशंसा करते थे। व्यक्तिगत रूप से, मैं इसे शुरुआती लोगों के लिए अनुशंसित नहीं करता हूं।

अधिक उपयोगकर्ता-अनुकूल स्रोत के लिए, मैं एंडर्टन के तत्वों को सेट थ्योरी की सलाह दूंगा । यह अध्याय 4 में प्राकृतिक संख्याओं और पूर्णांक, तर्कसंगत और वास्तविक 5 में प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण से पहले आपके द्वारा आवश्यक प्रारंभिक सामग्री को कवर करता है (संभवतः आप पूरी पुस्तक का एक मुफ्त पीडीऍफ़ ऑनलाइन पा सकते हैं, लेकिन एक त्वरित रूप से मैंने देखा है) केवल अध्याय 5 पाया ।)

मुझे Dedekind के मूल पत्र, "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("" निरंतरता और अपरिमेय संख्या ") का भी उल्लेख करना चाहिए, जिससे उसका निर्माण हो सके $\mathbb{R}$ से $\mathbb{Q}$। डेडेकिंड एक उल्लेखनीय स्पष्ट लेखक है। बेशक, उनका अंकन स्थानों में पुराना है, हालांकि जब मैंने इसे (कई साल पहले) पढ़ा था, तो मुझे याद नहीं है कि किसी भी तरह की हिचकी आए। हालांकि, एक ऑनलाइन कॉपी की तलाश में ( प्रोजेक्ट गुटेनबर्ग पर उपलब्ध ), मैं इस पेपर में भाग गया: चेस ब्रॉबी द्वारा रिचर्ड डेडेकिंड की "निरंतरता और अपरिमेय संख्या" , रोज-हुलमैन अंडरग्रेजुएट गणित जर्नल की एक परीक्षा ।

फिर भी एक बहुत अच्छे लेखक का एक अन्य स्रोत: स्पिलक की गणना । वह वास्तविक संख्याओं के तीन निर्माण देता है , अर्थात् डेडेकिंड में कटौती, कैंटर के मौलिक क्रम और अनंत दशमलव। दूसरे दो को विस्तृत संकेत के साथ अभ्यास के रूप में प्रस्तुत किया गया है। वह वास्तविक संख्याओं की अनिवार्य विशिष्टता को भी दर्शाता है।

तीन और टिप्पणियां: (1) श्रेणी सिद्धांत इसमें से कुछ पर नई रोशनी डालता है, विशेष रूप से "अनिवार्य रूप से समान" का अर्थ है। (२) का निर्माण$\mathbb{N}$वॉन न्यूमैन अध्यादेशों के बजाय कृत्रिम लग सकते हैं। जो वास्तव में मायने रखता है वह यह नहीं है कि प्राकृतिक संख्याएं क्या हैं , बल्कि वे स्वयंसिद्ध हैं जो वे मानते हैं। (३) निर्माण के बाद के चरणों के लिए भी यह सही है। विशेष रूप से, दो प्रसिद्ध निर्माण हैं$\mathbb{R}$ से $\mathbb{Q}$: डेडेकिंड में कटौती, और कैंटर के मौलिक अनुक्रम। वे बहुत अलग दिखते हैं, लेकिन आप आइसोमॉर्फिक संरचनाओं के साथ समाप्त होते हैं।