सरल $(1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Question

क्या कोई मुझे सरल बनाने में मदद कर सकता है $(1+\sqrt{3})\times\sqrt{2-\sqrt{3}}$? अंतिम परिणाम है$\sqrt{2}$हालाँकि, मैं ईमानदारी से नहीं जानता कि मेरे वर्तमान कौशल का उपयोग करके वहाँ कैसे पहुँचें।

मैंने एक शिक्षक / ट्यूटर से पूछा और उसने एक्स के बराबर अभिव्यक्ति स्थापित करने और पीछे की ओर काम करने का प्रस्ताव रखा, ताकि दोनों पक्षों को जोड़ सकें:

$$X^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow X = \sqrt{2}$$

मेरा मुख्य प्रश्न है:

1. एक्स के बराबर स्थापित किए बिना इसे सरल बनाने के लिए क्या कदम हैं?
2. मैंने एक यूट्यूब वीडियो देखने की कोशिश की, लेकिन इसमें कोई सफलता नहीं मिली - क्या यहाँ वर्गों का अंतर लागू है?

धन्यवाद!

Answer 1

सामान्य रूप में, $\sqrt{2 - \sqrt3}$ समीकरण का उपयोग करके इनकार किया जा सकता है $$\sqrt{X\pm Y} = \sqrt{\frac{X + \sqrt{X^2-Y^2}}{2}} \pm \sqrt{\frac{X - \sqrt{X^2-Y^2}}{2}}.$$ (स्रोत)

स्थापना $X = 2$ तथा $Y = \sqrt3$ देता है $X^2-Y^2=1$ और इसीलिए $$\sqrt{2-\sqrt3} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt 2}.$$ द्वारा गुणा करना $\sqrt3 + 1$ अंश में बदल जाता है $3-1 = 2$, तथा $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$।

यह लाने की तुलना में लंबा है $\sqrt3+1$ इस विशेष मामले में कट्टरपंथी में, लेकिन आम तौर पर अधिक काम करता है।

Answer 2

$$(1+\sqrt3)\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{(4+2\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt2.$$

Answer 3

आपके पास $x\sqrt y$। लाना$x$ प्राप्त करने के लिए वर्गमूल के अंदर $\sqrt{x^2y}$

Answer 4

ओपी का मतलब 'एक्स के बराबर सेटिंग' विधि से है।

लश्कर $x = (1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$, और इस तरह:

$$x^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow x = \cancel{-\sqrt{2}}, \sqrt{2}$$

जिस कारण हम पार हो गए हैं $-\sqrt{2}$ क्योंकि $1 + \sqrt{3} > 1 > 0$, तथा $\sqrt{2 - \sqrt{3}} > 0$, इस प्रकार $x = (1 + \sqrt{3})(\sqrt{2 - \sqrt{3}}) > 0$। इसलिये$x = \sqrt{2}$ केवल संभव मूल्य है।