सेट समस्या की दूरी

Question

$\Omega$ का खुला उपसमुच्चय है $\mathbb{R}^n$.let $A\subset \Omega$ का संक्षिप्त उपसमुच्चय हो $\mathbb{R}^n$।

दूरी साबित करो $d(\partial \Omega,A)>0$

मेरा प्रमाण, मान लेना $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$, इसलिए एक अनुक्रम मौजूद है $(x_n)\in A$ ऐसा है कि $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ .अब कब से $A$ बाध्य है, यह अस्तित्व के बाद मौजूद है, $x_{n_k}\to x\in A$(जबसे $A$ बंद हो गया है।)

इसलिए हमारे पास डिस्टेंस फंक्शन की निरंतरता है $d(\partial\Omega,x) = 0$ जो ये दर्शाता हे $x\in \partial\Omega$ (जबसे $\partial \Omega$ बंद है)। जो कोई चौराहे के बाद से विरोधाभास है $\partial\Omega$ तथा $A$ की वजह से $\Omega$ खुला हैं।

सवाल यह है कि मैं इस धारणा का उपयोग करता हूं $A$ अनुक्रम के निर्माण के लिए बाध्य है, लेकिन वास्तव में यह बंधी हुई स्थिति आवश्यक नहीं है, इसलिए यदि हम केवल मान लें तो कैसे साबित किया जाए $A$ का सबसेट बंद है $\mathbb{R}^n$ में शामिल है $\Omega$?

Answer 1

यदि हम कॉम्पैक्टनेस छोड़ते हैं तो यह गलत है: चलो $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ तथा $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$। फिर$A$ खुले सेट का एक बंद उपसमूह है $\Omega$ तथा $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ सबके लिए $,n$। इसलिए$d(\partial \Omega, A)=0$