सिद्धांत और प्रतिच्छेदन सेट करें
उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास कुछ संख्याएँ हैं $x,y,z,$ से $x=y-z,$ हम अनुमान लगा सकते हैं $y=x+z.$
क्या सेट्स को देखने का इतना सरल तरीका है?
कुछ सेट के लिए मान लीजिए $A,B,C$ अगर हमारे पास है $A=B \cap C$ हम कैसे सोच सकते हैं $B$ के अनुसार $A$ तथा $C?$
जवाब
आप देखते हैं, गणित में 'अनुरूप' होने का अर्थ है अध्ययन की विशिष्ट वस्तु का सामान्यीकरण। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या, हेर्मिटियन ऑपरेटरों के लिए 'अनुरूप' हो सकती है और ऑपरेटर की निकटता जटिल संख्याओं के संयोजन के लिए 'अनुरूप' हो सकती है। आपके प्रश्न में, संख्याओं को सेटों द्वारा सामान्यीकृत नहीं किया गया है। इसलिए, सेट पर 'कम्प्यूटेशनल' कार्य में अलग-अलग नियम होते हैं। किसी भी सेट सिद्धांत पुस्तक की शुरुआत में निर्धारित नियमों का गुच्छा है। आपको उनका उल्लेख करना चाहिए और उसके अनुसार काम करना चाहिए।
मैं क्रिस्टोमथ की टिप्पणी से सहमत हूं, कहने के लिए बहुत कुछ नहीं है। सबसे अच्छा हम यह कह सकते हैं$B \subseteq A \cup C^{c}$ (कहां है $C^c$ का पूरक सेट है $C$) है।
हालाँकि मुझे इसके लिए निम्न सूत्रीकरण मिला $B,$ लेकिन सिर्फ के मामले में नहीं $A$ तथा $C.$ मुझे भी जोड़ना था $B$ क्योंकि कई सेट हैं जो ऊपर बताई गई स्थिति को पकड़ सकते हैं।
चलो $A, B,$ तथा $C$ सेट हो, ऐसे $A = B \cap C.$ फिर $B = A \cup (B \setminus C).$
प्रमाण: मान लीजिए कि$A = B \cap C.$ चलो $x \in B.$ हमारे पास वह भी है $x \in C,$ या $x \notin C.$ पूर्व मामले में, $x \in B \cap C,$ तोह फिर $x \in A.$ यह इस प्रकार है कि $x \in A \cup (B \setminus C).$ बाद के मामले में, $x \in B \setminus C,$ तोह फिर $x \in A \cup (B \setminus C).$ इसलिए $B \subseteq A \cup (B \setminus C).$ अब छोडो $y \in A \cup (B \setminus C).$ फिर $y \in A,$ या $y \in B \setminus C.$ पूर्व मामले में, $y \in B \cap C,$ तोह फिर $y \in B$ तथा $y \in C,$ खास तरीके से, $y \in B.$ बाद के मामले में, $y \in B \setminus C,$ तब फिर $y \in B$ तथा $y \notin C.$ विशेष रूप से $y \in B.$ इसलिए $A \cup (B \setminus C) \subseteq B.$ जबसे $B \subseteq A \cup (B \setminus C) \subseteq B,$ हम इसे घटाते हैं $B = A \cup (B \setminus C).$ $\square$