सिंपल सेट का इन्फैटेबल

Question

मैं एक साधारण सेट की तरह अनंत साबित करने में संघर्ष कर रहा हूं $S=\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\;;\;n\in\mathbb{N}\right\}$ मैं पहले क्या करूँगा नोटिस है कि $n\geq 1$ इसका मतलब होगा कि $2^{n}\geq 2\implies \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\geq \frac{2}{3^{n}}$ और इसलिए वह देख सकता है $0$ यह सबसे अच्छा है, लेकिन मुझे नहीं पता कि यह दिखाने के लिए कि यहां आर्किमिडीज़ की संपत्ति का सही इस्तेमाल कैसे किया जाए $0$ की सबसे बड़ी निचली सीमा है $S$।

Answer 1

सेट $S$ केवल सकारात्मक संख्याएँ होती हैं, जैसे कि कोई भी सकारात्मक संख्या नहीं है $\inf$ (यानी, किसी भी सकारात्मक के लिए $\varepsilon$ संख्या का एक तत्व है $S$ से छोटा है $\varepsilon$) का है। यह दिखाने के लिए कि किसी को ढूंढना है$\varepsilon$ कि ए $n$ ऐसा मौजूद है $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \le \varepsilon \\ \overset{\ln(\cdot)}{\implies}\quad n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \le \ln(\varepsilon) \quad\overset{(\cdot)/\ln\left(\frac{2}{3}\right)}{\implies}\quad n \ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} $$ विभाजन द्वारा अंतिम असमानता के संकेत को उलट दिया गया था $\ln(2/3)$, जो नकारात्मक है।

इसका मतलब है कि $\inf$गैर-धनात्मक (शून्य या शून्य) में। ऋणात्मक ऋणात्मक नहीं हो सकता क्योंकि किसी भी ऋणात्मक के लिए निम्न बाउंड के रूप में अधिक ऋणात्मक होता है। तो यह शून्य ही रहता है