Sqrt में चरण कारक रखते हुए

Jan 06 2021

मैं कुछ होलोमॉर्फिक कार्यों की साजिश करने की कोशिश कर रहा हूं जिनमें वर्ग और उच्च जड़ें हैं। जटिल विश्लेषण अर्थों में, फ़ंक्शन$f:z\mapsto z^\alpha$ कुछ के लिए $\alpha\in\mathbb C$ एक चरण कारक है $e^{2\pi i\alpha}$ पर $z=0$, जिसका अर्थ है कि चारों ओर एक छोटा सा गोलाकार रास्ता $0$ कार्यक्रम $f$इस कारक को चुनता है। क्या गणितज्ञों में इसे लागू करने का कोई तरीका है?

उदाहरण के लिए,

g[z_] = z^4;
Sqrt[g[Exp[Pi I/2]]]

परिणाम के रूप में 1 देता है, जहां मैं चरण रखना चाहता हूं $g(e^{\pi i/2})=e^{2\pi i}$ और फिर गणना करें $$\sqrt{g(e^{\pi i/2})}=e^{\pi i}=-1.$$के साथ Sqrtया$(\cdot)^{1/2}$यह संभव नहीं लगता है, क्योंकि वे मूल वर्ग जड़ों को उठाते हैं। आपकी मदद के लिए बहुत धन्यवाद!

EDIT यहां एक उदाहरण है:

lim = 5; dlim = 20; 
f1[z_] = Sqrt[z^8];
f2[z_] = z^4;
p1 = ParametricPlot[{Re[f1[1 + d I]], Im[f1[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
p2 = ParametricPlot[{Re[f2[ 1 + d I]], Im[f2[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
GraphicsGrid[{{p1, p2}}]

जाहिर कार्यों f1और f2एक ही है, बस के रूप में नहीं कर रहे हैं$\sqrt{x^2}=|x|$ के बराबर नहीं है $x$ पर $\mathbb R\ni x$। अपने उद्देश्य के लिए मैं वर्गमूल के एक संकल्प में दिलचस्पी लेता हूं जो एक चिकनी कार्य की ओर जाता है। उपरोक्त भूखंड इस प्रकार हैं:

बाईं तस्वीर में एक ऐसे बिंदुओं को देखता है जहां फ़ंक्शन वर्गमूल की शाखा कटौती को पार करता है। मैं सोच रहा हूं कि क्या इससे बचने का कोई तरीका है, जैसे कि सही तस्वीर में, बिना हाथ के वर्गमूल को हल करने में सक्षम होना। उदाहरण के लिए, यदि कोई अभिव्यक्ति को जोड़ता है$z^8$ इसमें समान चरण शामिल हैं, मैं एक सामान्य चरण को वर्गमूल से बाहर निकालना चाहूंगा, ताकि शाखा कटौती से प्रभावित न हो।

एक भी कहने के लिए उपरोक्त फ़ंक्शन ख़राब कर सकता है $f(z)=\sqrt{z^8+\varepsilon}$ कुछ के लिए $\varepsilon>0$। फिर जेनेरिक के लिए वर्गमूल लेने का कोई तरीका नहीं है$z$, और सही तस्वीर के विरूपण की साजिश करना संभव नहीं है। मुझे ऐसा करने का तरीका खोजने में कोई दिलचस्पी नहीं है, जैसे कि सही तस्वीर लगातार विकृत हो रही है।

मेरा वास्तविक हित मॉड्यूलर कार्यों के वर्गमूल आता है EllipticThetaऔर DedekindEta, जो चरणों के साथ कुछ अंशीय रैखिक परिवर्तनों के तहत बदल जाते हैं। तब इस तरह के रूप में अभिव्यक्ति के लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है$\sqrt{\vartheta_4(z)^8+\varepsilon \vartheta_2(z)^4\vartheta_3(z)^4}$ चूँकि दोनों सम्मन एक ही चरण में बदलते हैं।

उपरोक्त सभी मुद्दे इस तथ्य से आते हैं कि गणितज्ञ प्रत्येक चरण में जटिल संख्या व्यक्त करता है या तो कार्टेशियन निर्देशांक में है या सब कुछ मोडुलो को अनदेखा करता है $2\pi$ध्रुवीय रूप में। हर एक ऑपरेशन को फिर से परिभाषित किए बिना, गणितज्ञ को ऐसा करने से रोकने के लिए एक तरीका खोजना अच्छा होगा। आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

जवाब

5 Dominic Jan 07 2021 at 02:38

यह विश्लेषणात्मक रूप से निरंतर पथ के साथ बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन को जारी रखने की सामान्य समस्या का एक उदाहरण है।

जैसे बीजीय कार्य के मामले में $w=\sqrt{z^8}$, हम इसे लिख सकते हैं $f(z,w)=w^2-z^8=0$ और आपके मामले में, दे रहा है $z(t)=1+it$, लिखना: $$ \frac{dw}{dt}=-\frac{f_z}{f_w}\frac{dz}{dt}=\frac{4i(1+it)^7}{w} $$ हम अगले (बहु-मूल्यवान) आईवीपी को हल करते हैं: $$ \frac{dw}{dt}=\frac{4i(1+i t)^7}{w};\quad \{w_0\}=\{f(z(t_0),w)=0\} $$ जहां डे और प्रारंभिक मान $\{w_0\}$ के लिये $t_0=-5$ के रूप में स्थापित कर रहे हैं:

tStart = -5;
tEnd = 5;
thez[t_] = 1 + t I;
theDE = w'[t] == ((4 I z^7)/w /. {z -> thez[t],
    w -> w[t]});
wStart = w /. Solve[w^2 == (1 + tStart I)^8, w]

अब आईवीपी दोनों को हल करें और परिणाम प्लॉट करें:

colors = {Red, Blue};
plotTable = Table[
   dSol = 
    First[NDSolve[{theDE, w[-5] == wStart[[i]]}, 
      w, {t, tStart, tEnd}]];
   theSol[t_] := Evaluate[Flatten[w[t] /. dSol]];
   ParametricPlot[{Re[theSol[t]], Im[theSol[t]]}, {t, tStart, tEnd}, 
    PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, PlotStyle -> colors[[i]]],
   {i, 1, 2}];
Show[plotTable]