स्थिर स्ट्रिंग के लिए समीकरण
स्थिर स्ट्रिंग के ईओएम के निम्नलिखित व्युत्पत्ति पर मुझे कुछ संदेह है।
चलो $F_x, F_y$ स्ट्रिंग का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर तनाव
$\mu$ स्ट्रिंग की प्रति यूनिट लंबाई का द्रव्यमान हो [किलो / मी]
$$\frac{F_{2y}}{F_{2x}} = \tan\theta_+ = y'(x + dx)$$ $$\frac{F_{1y}}{F_{1y}} = \tan\theta_- = y'(x)$$ $$dm = \mu dx$$ कोई शुद्ध बल नहीं, $$F_{1x} = F_{2x} = F$$ $$F_{2y} - F_{1y} = gdm = \mu gdx$$ $$F(y'(x + dx) - y'(x)) = \mu gdx$$ $$F\frac{d^2y}{dx^2} = \mu g$$
हल देता है $$y = \frac{\mu g}{2F}x^2 + Ax + B$$
मैं पथरी के लिए नया हूं, इसलिए मेरे कुछ सवाल हैं, कृपया इस तरह से समझाएं कि एक शुरुआती समझ सके, धन्यवाद !:
- हम उपयोग क्यों करते हैं $dm = \mu dx$ की बजाय $dm = \mu \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$यहाँ? क्योंकि यह मुझे लगता है कि$\mu \cdot dx$एक वक्र पर कुछ बिंदु पर द्रव्यमान का वर्णन नहीं करता है , लेकिन$\mu \cdot ds$ कर देता है।
- क्या दोनों छोरों पर एक कैटेनरी आयोजित नहीं होती है, जो एक परबोला नहीं है? तो फिर इस मामले में यह एक परवल क्यों है? एक कैटेनरी और इस ग्राफ के बीच अंतर क्या हैं?
मैं कुछ बहुत ही बुनियादी वैचारिक गलतियाँ कर सकता हूँ क्योंकि मैं अब ज्यादातर आत्म सीखने वाला हूँ। तो कृपया मेरी शंका को दूर करने में मेरी मदद करें।
जवाब
$$\newcommand{\md}{\mathrm{d}}$$हाँ आप सही हैं। सबसे सामान्य मामले में, हमें उपयोग करना चाहिए$\md m = \mu\, \md s$रस्सी के असीम रूप से छोटे तत्व के द्रव्यमान के लिए। संक्षेप में, वह समीकरण जो कह रहा है वह यह है कि रस्सी के छोटे खंड का द्रव्यमान प्रति इकाई की लंबाई के बराबर छोटे खंड की लंबाई के बराबर है।
मुझे नहीं पता कि आपको व्युत्पत्ति कहाँ से मिली, लेकिन उन्होंने शायद इस्तेमाल किया $\md m = \mu\, \md x$द्रव्यमान के लिए क्योंकि उन्होंने माना कि रस्सी बहुत कम लहराती है। (उन्होंने यह भी कहा हो सकता है। मैं सलाह दूंगा कि आप उनकी व्याख्या को बारीकी से पढ़ें कि उन्होंने क्या धारणा बनाई है।)
यदि रस्सी लगभग तना हुआ है (अर्थात थोड़ा सा भी नहीं), तो $\sqrt{1 + \left( \dfrac{\md y}{\md x}\right)^2}\, \md x \approx 1 \,\md x$, जिसका तात्पर्य है $\md s \approx \md x$।
एक कैटेनरी फॉर्म के समीकरणों को दिया गया नाम है$$y = a\cosh \left(\dfrac{x}{a}\right)$$
कहां है $\cosh x$ हाइपरबोलिक कोसाइन फंक्शन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$
यह पेराबोला से अलग है, जैसा कि हम नीचे दिए गए ग्राफ से देख सकते हैं:
ग्राफ में, $y = \cosh x$ लाल और में दिखाया गया है $y = x^2$ नीले रंग में है।
यहां एक और ग्राफ दिखाया गया है कि कैसे एक परवलय एक कैटेनरी के लिए एक सन्निकटन हो सकता है, अगर "साग" अपेक्षाकृत छोटा है:
यहाँ, $y = \cosh x$ एक बार फिर लाल रंग में है, लेकिन नीले वक्र का समीकरण है $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$। जैसा कि हम देख सकते हैं, यदि$x$ इसके करीब है $0$, तो परबोला, कैटेनरी का एक बहुत अच्छा सन्निकटन है।