ट्रेस एंट्रियों
मैं ट्रेस एन्ट्रापी फंक्शंस और कॉम्बिनेटरिक्स के बीच संबंधों का अध्ययन कर रहा हूं और मैं निम्नलिखित समस्या का सामना कर रहा हूं। चलें$\mathcal {D}$ निम्नलिखित अंतर ऑपरेटर हो $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ अर्थात $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$।
के लिये $m\ge 0$ पूर्णांक, यदि $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ तब फिर $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ और, (कम से कम औपचारिक रूप से) एक समारोह के लिए $g$ हम लिख सकते है $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ कहां है $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$
मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि किस तरह के कार्य हैं $g(x)$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा कर सकते हैं $(0;1]$
मैं) $g(x) \ge 0$, $g(0)=0$। (सकारात्मकता)
II) $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$। (कुछ की तरह$\mathcal {D}$)
III) $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ (यह ऑपरेटर के साथ व्यक्त की गई मानक सहमति है $\mathcal {D}$
IV) $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ ऐसा है कि $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$
वी) $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ ऐसा है कि $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$
यदि हम केवल I (II), II) और III को लागू करते हैं तो बहुत सारे कार्य हैं जो उन्हें संतुष्ट करते हैं, लेकिन
IV जोड़ना) मैं निम्नलिखित फ़ॉर्म को छोड़कर किसी भी फ़ंक्शन को खोजने में सक्षम नहीं हूं $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ असली निरंतर (यहाँ $\varepsilon=1$) का है। ध्यान दें कि$g$ V को संतुष्ट मत करो)।
IV) और V जोड़कर मैं बोल्ट्जमैन-गिब्स-शैनन एंट्रॉपी ट्रेस को छोड़कर कोई अन्य फ़ंक्शन नहीं पा रहा हूं: $-x\cdot \log(x)$
मुझे "डर" है कि बोल्ट्ज़मैन-गिब्स-शैनन एंट्रॉपी ट्रेस एक अद्वितीय फ़ंक्शन है जो संतोषजनक है I) -V)।
किसी भी दृष्टिकोण के लिए अग्रिम धन्यवाद।
जवाब
किसी के लिए $c\in(0,\log2]$, कार्यक्रम $g$ सूत्र द्वारा परिभाषित $g(x)=cx$ के लिये $x\in[0,1]$ आपकी शर्तों को संतुष्ट करता है I) -V), लेकिन यह बोल्ट्जमैन-गिब्स-शैनन एन्ट्रॉपी ट्रेस नहीं है।
कई और कार्य हैं $g$आपकी शर्तों को पूरा करते हुए I) -V) जो बोल्ट्जमैन-गिब्स-शैनन एन्ट्रॉपी ट्रेस नहीं हैं। विशेष रूप से, किसी के लिए$c_1\in(0,\log2)$, कोई भी नॉनगनेटिव निरंतर कार्य $H$ पर $[0,1]$, और किसी भी छोटे पर्याप्त वास्तविक $c_2\ge0$ तथा $c_3\ge0$, कार्यक्रम $g$ सूत्र द्वारा परिभाषित $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ के लिये $x\in[0,1]$ आपकी शर्तों को संतुष्ट करता है I) -V), लेकिन यह बोल्ट्जमैन-गिब्स-शैनन एन्ट्रॉपी ट्रेस नहीं है।