वितरण सिद्धांत $ {u}\,{\sin((\pi)x)}=1.$ [बन्द है]

Question

मैं फ्रीडलैंडर और जोशी द्वारा वितरण के सिद्धांत का उपयोग कर रहा हूं। मैं सब ढूंढना चाहता हूं$u$ में $D'(\mathbb R)$ ऐसे:

$$ {u}\cdot{\sin((\pi)x)}=1.$$

मैं देखता हूं कि कोई भी पूर्णांक एक ध्रुव है। क्या कोई सरलीकरण हैं?

Answer 1

$$f = pv(\frac{1}{\sin(\pi x)})$$ एक समाधान है।

फिर कोई भी उपाय रूप का है $$u=f+w, \qquad w\sin(\pi x)=0$$ ऐसे दिया $w$, कुछ ठीक करें $\psi \in C^\infty_c(-1,1)$, $\psi(0)=1$।

सबके लिए $\phi \in C^\infty_c(-1,1)$ हमारे पास है $$\langle w,\phi-\phi(0)\psi\rangle = \langle w\sin(\pi x),\frac{\phi-\phi(0)\psi}{\sin(\pi x)}\rangle=0$$ अर्थात। $$\langle w,\phi\rangle= \langle C\delta,\phi\rangle,\qquad C = \langle w,\psi\rangle$$ क्या आप समाप्त कर सकते हैं?