$|x|^{3/2}$ जोरदार उत्तल?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ यदि आप दूसरी व्युत्पन्न लेते हैं $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ यदि आप आवश्यकता से जाते हैं कि $f$ जब जोरदार उत्तल है $$f''(x) \geq m \gt 0$$ फिर $f$ जोरदार उत्तल है।

हालांकि, यदि आप आवश्यकता से जाते हैं कि $f$ जब जोरदार उत्तल है

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ उत्तल है, $∀x$ और कुछ $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ स्पष्ट रूप से उत्तल नहीं है $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ काफी बड़े के लिए $x$।

कृपया मुझे बताएं कि मेरी गलती कहां है!

धन्यवाद

Answer 1

यह सच है कि $f''>0$ जहां यह परिभाषित किया गया है, और वास्तव में $f$ अभी भी एक अंतराल युक्त उत्तल है $0$ भले ही $f''(0)$वास्तव में परिभाषित नहीं है। (कुछ हद तक ढीले अर्थों में आप कह सकते हैं$f''(0)=+\infty$।)

हालाँकि, आपके द्वारा उल्लिखित पहली आवश्यकता वास्तव में नहीं है क्योंकि कोई एकल संख्या नहीं है$m>0$ ऐसा है कि $f'' \geq m$ हर जगह, जब से $f''$अनंत पर शून्य हो जाता है। इस प्रकार$f$ जोरदार उत्तल नहीं है, लेकिन यह सख्ती से उत्तल है।