यही वजह है कि $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

आज्ञा देना एक गैर-वर्ग मैट्रिक्स है। निम्नलिखित समानता सत्य क्यों है?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

प्रयास करें:

एक वर्ग मैट्रिक्स के eigenvalue के बाद से $X$, के प्रतिजन का पारस्परिक है $X^{-1}$, हमारे पास है:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

मेरे पास निम्नलिखित हैं:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

जो आप साबित करना चाहते हैं वह बहुत सरल है और सभी वर्ग मैट्रिसेस के लिए सच है, न कि केवल फॉर्म के $A^TA$। $\nu$ का एक प्रतिरूप है $P$ आईएफएफ $1-\nu$ का एक प्रतिरूप है $I-P$। इस प्रकार, के किसी भी eigenvalue$I-P$ रूप का है $\nu=1-\lambda$ कहाँ पे $\lambda$ का एक प्रतिरूप है $P$। न्यूनतम लेना,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ जबसे $1-\lambda$ कब कम किया जाता है $\lambda$ अधिकतम है।