योग प्रमाण का

Question

मैं सूत्र सिद्ध कर रहा हूं $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$यूलर के सूत्र का उपयोग करके। साइन के व्युत्पन्न साबित होने पर इस योग सूत्र की आवश्यकता होती है।

मैं केवल सोच रहा हूं कि तब मैं एक परिपत्र तर्क देता हूं, चूंकि यूलर के फार्मूले के सभी सबूत जो मैंने देखे हैं साइन और कोसाइन के डेरिवेटिव को जानने की आवश्यकता है।

Answer 1

उनके जटिल विश्लेषण पुस्तक में एफ़्लोरर्स परिभाषित करता है $e^z$ समीकरण को पूरा करने के लिए $f'(z)=f(z)$ सबके लिए $z$ जटिल विमान में, और $f(0)=1$। इस परिभाषा से वह बिजली श्रृंखला के विस्तार को प्राप्त करता है$e^z$और यह दिखाता है कि यह हर जगह परिवर्तित होता है। इसके अलावा वह दिखाता है$e^{a+b}=e^ae^b$डेरिवेटिव के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करना। फिर परिभाषित करता है$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ तथा $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$। इस से यूलर्स सूत्र व्युत्पन्न के बिना व्युत्पन्न है$\sin$।