방향을 잡을 수없는 리만 매니 폴드에 대한 통합
비 지향성 매니 폴드를 통합하는 다음 정리로 인해 약간 혼란스러워합니다. 어떻게 가능합니까? (보다https://math.stackexchange.com/q/6128/272127).
정리. 허락하다$M^n$ 콤팩트 한 리만 비 지향성 매니 폴드이고 $\omega$미분 1 형. 허락하다$\pi:(\widetilde{M},\tilde{g})\to (M,g)$ 두 장으로 된 커버링 맵이어야합니다. 여기서 $\tilde{g}=\pi^*g$ 그리고하자 $\widetilde{A}=\pi^*A$. 그때$$\int_\widetilde{M}\tilde{\delta} \widetilde{\omega}\widetilde{dV}=2\int_M\delta\omega dV.$$
답변
다음과 같은 경우를 고려하는 것으로 충분합니다. $M$연결되었다. 당신이 신경 쓰는 모든 것이 적분이므로 개방형 토폴로지 디스크를 선택하십시오.$U\subset M$ 보수가 측정 값이 0 인 경우 방향을 선택합니다. $U$원하는대로. 예를 들어,$U$ 점의 절단 위치에 대한 보완 $M$. (이것이 마음에 들지 않으면$M$방향이 지정된 표면과 투영 평면의 연결된 합계입니다. 그 후,$M$ 단면 부드러운 루프 포함 $c$ 그런 $M'=M-c$방향이 있습니다. 당신이 사용할 수있는$M'$ 디스크 대신 $U$.)
이것은 볼륨 양식을 정의합니다 $dV$, 호지 스타와 $\delta$ 의 위에 $U$. 그런 다음 적분자가$$ \delta\omega dV $$ 선택한 방향과 무관합니다. $U$ (기호를 두 번 변경합니다) 및 적분 $$ \int_U \delta\omega dV $$ 선택에 독립적입니다 $U$ (이후 $M\setminus U$측정 값이 0입니다). 이것이 당신이 적분을 이해하는 방법입니다.$$ \int_M \delta\omega dV. $$
이제 2 단 커버링을 고려하세요 $\pi$ 그리고 그것을 관찰하십시오 $\pi^{-1}(U)$ 두 가지 구성 요소가 있습니다 $U_1, U_2$ 그런 $\pi|_{U_i}: U_i\to U$ diffeomorphism, $i=1,2$. 두 적분$$ \int_{U_i} \tilde\delta\tilde\omega \widetilde{dV}$$ 같을 것이다 $$ \int_U \delta\omega dV. $$ 따라서 공식을 얻습니다.
동일한 트릭이 더 높은 차원에서도 작동합니다.