주어진 $a,b\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ 과 $b>\frac{a^4}{a^2+1}$, 증명 $b\geq a^2$

Question

을 고려하면 $$ a,b \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$$ 과 $$b> \frac{a^4}{a^2+1}$$ 증명할 수있는 방법 $b\geq a^2$ 가능한 모든 값을 찾고 있기 때문에 $(a,b)$ (그리고 나는 실제로 모든 것을 무차별 대입으로 알고 있습니다)?

지금까지 원래 불평등의 정식 형태로 갈 수 있습니다.

$$b> a^2-1+ \frac{1}{a^2+1}.$$

어떤 도움이라도 대단히 감사하겠습니다 :)

추신 : 나는 이미 내가 원하는 방식으로이 문제를 해결했고 내 실수도 보았습니다. 나를 도왔고 특히 @quasi에 내 문제를 편집 해 주신 모든 분들께 감사드립니다. 나는 실제로 더 복잡한 확률 문제의 일부이기 때문에 매우 만족합니다. 나는 그것이 불공평하다는 것을 알고 있지만 내 자신의 해결책에 더 편안하고 아래에 넣었습니다 ...

Answer 1

모순을 사용합시다. 가정$b\leq a^{2}-1$.

$b\leq a^{2}-1$

$b(a^{2}+1)\leq (a^{2}-1)(a^{2}+1)$

$b\leq \frac{a^{4}-1}{a^{2}+1}$

모순 $b>\frac{a^{4}}{a^{2}+1}$

Answer 2

의견에서 언급했듯이 증명할 수 없습니다. $b > a^2$ 사건 때문에 $a=b=1$, 불평등 $$b > \frac{a^4}{a^2+1}$$ 유지하지만 불평등 $b > a^2$ 실패합니다.

그러나 증명하기 위해 $b\ge a^2$모든 경우에 적용되며 다음과 같이 주장 할 수 있습니다. . . \ begin {align *} & b> \ frac {a ^ 4} {a ^ 2 + 1} \\ [4pt] \ implies \; & b> \ frac {a ^ 4-1} {a ^ 2 + 1} \\ [4pt] \ implies \; & b> \ frac {(a ^ 2 + 1) (a ^ 2-1)} {a ^ 2 + 1} \\ [4pt] \ implies \; & b> a ^ 2-1 \\ [4pt] \ implies \; & b \ ge (a ^ 2-1) +1 \; \; \; \; \ text {[이후$b$ 과 $a^2-1$ 둘 다 정수입니다.]} \\ [4pt] \ implies \; & b \ ge a ^ 2 \\ [4pt] \ end {align *}

Answer 3

허락하다 $A=\dfrac{a^4}{a^2+1}$. $$A=\dfrac{a^4}{a^2+1}<\dfrac{a^4}{a^2}=a^2 \text{ and }b>A$$ 따라서 당신은 $b\notin (A,a^2)$.

$a^2$ 정수이고 $a^2-A=a^2-\dfrac{a^4}{a^2+1}=\dfrac{a^2}{a^2+1}<1$. 따라서 간격$(A,a^2)$ 정수를 포함 할 수 없으며 $b\notin (A,a^2)$. 그래서$b\geq a^2$.

Answer 4

나는 마침내 방법을 이해합니다. 이것이 내가 한 방법입니다 (이미 해결 방법을 알고 있기 때문에 단어를 넣지 않았습니다).

$$ b > \frac {a^4}{a^2 +1}$$

$$\frac {a^4}{a^2 +1} = a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$

$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$

$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1} > a^2 - 1$$

$$b > a^2 - 1$$

$$b \geq a^2 - 1 +1$$

$$b \geq a^2$$ .