$3^{123} \mod 100$

Вы действительно правы. Однако есть одно небольшое улучшение. Используя функцию Кармайкла , вы можете утверждать, что меньшая мощность$3$, а именно $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. Функция Кармайкла делит половину тотальной функции Эйлера, когда аргумент четный, а сумма Эйлера кратна$4$, что верно для $\lambda(100)$; таким образом$3^{20}$ может заменить $3^{40}$ в споре.

На более элементарном уровне вы можете визуализировать $3^4=80+1$ и возвести обе стороны в пятую степень, таким образом $3^{20}\equiv1\bmod 100$ как биномиальную теорему для $(80+1)^5$ дает кратные $100$ плюс $1$.

Правильное, альтернативное решение:

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

Верный! Я считаю, что ваша логика верна. Насколько я понимаю, это правильное применение Эйлера обобщения теоремы Ферма.$\phi(100) = 40$ и поэтому $3^{40} \cong 1 \mod 100$

Если вам нужны дополнительные доказательства, просто введите $3^{123}$ в https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

Опять же, это не совсем необходимо, но если вам нужно конкретное доказательство, вот оно.

ОП начал с поиска шаблона, но заявил, что

... несмотря на очень болезненный осмотр, не дал очевидного полезного шаблона.

Вы можете использовать некоторую теорию света, чтобы на самом деле предсказать форму и структуру узора.

Обратите внимание, что если $a \in \{0,2,4,6,8\}$ а также $b \in \{1,3,7,9\}$ а также

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

тогда на самом деле $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ а также $b' \in \{1,3,7,9\}$.

Это наша основная (теоретическая) закономерность и

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

Легко проверить, что цифра единиц будет перемещаться

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

внутри каждого из этих четырех циклов.

Учитывая, что $3$является единицей , мы можем утверждать, что одна из этих$4$-циклы закончатся

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

и что повторение невозможно, пока не будет достигнута идентификация.

Поскольку цифра десятков может перемещаться только по набору$\{0,2,4,6,8\}$, их не более пяти $4$-циклы, которые необходимо рассчитать.

Расчет $2^{nd}$ $4$-цикл:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Расчет $3^{rd}$ $4$-цикл:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

Расчет $4^{th}$ $4$-цикл:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

На этом этапе нам действительно не нужно рассчитывать $5^{th}$ $4$-цикл, поскольку мы знаем, что он должен быть последним.

Теперь мы можем использовать тот факт, что

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

и проработайте остальные детали для вопроса ОП.