$A$ нильпотентен, то $I+\lambda A$ обратим для любого $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Мне нужна помощь в этой проблеме.
Позвольте$A$ квадратная вещественная матрица такая, что $A^{n}=0$ для некоторого положительного целого числа $n .$Такая матрица называется нильпотентной. Покажи, что если$A$ нильпотентен, то $I+\lambda A$ обратим для любого $\lambda \in \mathbb{R}$

Я знаю это для $\lambda = 1$ это правда
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Тем самым доказывая, что $A+I$ обратима для любого нильпотентного $A$.

Но я не знаю, верно ли это для любого $\lambda$.

Answer 1

У нас есть $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Подсказка: поскольку вы уже знаете, $A$ нильпотентен, то $I+A$ единица, вы можете заметить, что $\lambda A$ нильпотентна и заключаем.

Answer 3

Вы также можете показать это от противного следующим образом:

За $\lambda = 0$ показать нечего.

Итак, начнем $\lambda \neq 0$ и предположим, что $I+\lambda A$ не обратима. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Так, $\mu\neq 0$ будет собственным значением $A$. поскольку$A$ нильпотентен, у нас было бы $\mu = 0$, что противоречит.

Answer 4

Я предполагаю, что $A$ кончено $\mathbb{R}$ , с нильпотентным индексом $k$

в случае $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$и обратим.
в случае$\lambda \not= 0$: воспользуемся следующей леммой

---

лемма: если$B$ - вещественная нильпотентная матрица, $B$не имеет реальных ненулевых собственных значений.
доказательство:

допустим $B$ нильпотентен индекса $r$.
также мы предполагаем, что у него есть реальное собственное значение -$\xi$

по определению это означает, что существует ненулевой вектор $v$ такой, что-

$Bv = \xi v$

так, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
в общем, нетрудно показать по индукции, что
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

с этим мы получаем: $B ^r (v) = \xi ^r v$
но и $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

так - $\xi ^r v = \underline0$.
но$v \not= \underline0$ , поэтому мы должны получить $\xi ^r = 0$ - что в целом означает, что:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

---

Теперь применим эту лемму к$A$, и получить это $A$не имеет ненулевых собственных значений .

давайте рассмотрим матрицу $I - \lambda A$ , помня, что здесь $\lambda \not= 0$.

Эта матрица обратима тогда и только тогда, когда она имеет ненулевой определитель.
Вычислим его определитель:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

Предположим, это равно $0$ и получить:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

и другие - $\lambda ^{-1}$ является собственным значением $A$, которая не равна нулю. Contrediction.

следовательно, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ и другие -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ и матрица обратима.