Аннигилятор простого модуля

Question

Позволять $C$ быть конечно порожденным $R$-алгебра где $R$коммутативное кольцо с единицей. Позволять$S$ быть простым $C$-модуль. Покажите, что аннигилятор$S$ в $R$ - максимальный идеал.

Я пробовал: когда $C=R$ то это прямое следствие простоты $S$ как $R$-модуль. Далее, поскольку$S$ тогда просто $S$ циклический (т.е. $S=Cy$ для ненулевого $y\in S$). Рассмотрим карту$$f: C \to S$$ $$c \mapsto cy$$ затем $\ker(f)$ является аннигилятором $S$ в $C$ а также $\ker(f) \cap R$ является аннигилятором $S$ в $R$. Я показал, что это идеал$R$но я не знаю, дальше показывать максимальность. Это верное направление или есть еще что-нибудь, что я должен рассмотреть, чтобы показать максимальность?

Answer 1

У меня возникла идея: если мы ограничим карту $f: C \to S$ на $R$. Тогда у нас есть изоморфизм между$f(R)=Ry$ и частное $R/(\ker(f) \cap R)$, где $\ker(f) \cap R$ является аннигилятором $S$ в $R$.

Итак, чтобы показать $R/(\ker(f) \cap R)$ максимальна, достаточно показать, что $Ry$ просто как $R$-модуль. Позволять$ry \in Ry$ненулевой элемент. Тогда ясно$Ry$ содержит $\langle ry \rangle$ в качестве $R$-модули. Наоборот, поскольку$ry \in Ry \subset S$ не равно нулю, $\langle ry \rangle = S \supset Ry$. Так$Ry = \langle ry \rangle$ для любого ненулевого $ry \in Ry$. Hnece$Ry$ просто и $R/(\ker(f) \cap R)$ максимально.

Пожалуйста, дайте мне знать, если в моем ответе есть двусмысленность.