Докажи это $Nullity(AB)=Nullity(B)$ и $Range(AB)=Range(B)$

Question

Пусть будет поле $K=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ матрица, связанная с линейным преобразованием $A: K^n\rightarrow K^m$, где $m,n \in Z_{+}$. Мы определяем:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. Если $A\in K^{n\times n}$ обратимая матрица, докажите, что $AB$ имеет тот же нуль и диапазон, что и B, для любой матрицы $B \in K^{n\times m}$
2. Если $m=n$, которое является соотношением между собственными значениями и собственными векторами матриц $AB$ и $BA$.

То , что я сделал для 1 это:

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

С другой стороны у нас есть это,

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

А также, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

Я прав? Или что делаю не так?

И для 2 я не уверен, какова связь между собственными значениями и собственными векторами матриц AB и BA.

Буду очень признателен за вашу помощь!

Answer 1

Аргументы для (1) верны (в основном: удалить $b$ в $bBx=0$и заменить $\dim(B)$ от $\dim(K^m)$.)

Для (2) предположим $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). потом$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ так $Bv$ является собственным вектором $BA$ с собственным значением $\lambda$, если только $Bv=0$ (т.е. $\lambda=0$).
Наоборот, если$BAw=\mu w$ тогда $Aw$ является собственным вектором $AB$, если только $Aw=0$.

Заключение: собственные значения $AB$ такие же, как у $BA$, кроме, возможно, нулевых собственных значений (не могу сказать в этом случае).