Эргодичность при трансформации

Question

Предположим $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ снабжен топологией продукта и наделен борелем $\sigma$-алгебра $\mathcal B(\Omega)$ и есть вероятностная мера $\mathbb P$ на $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ так что сдвиг $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ сохраняет меру, т.е. $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ на $\mathcal B(\Omega)$, и эргодический, т.е. $A=T^{-1}(A)$ подразумевает $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ для любого $A\in\mathcal B(\Omega)$. Теперь позвольте$f:[0,1]^3\to[0,1]$ измеримая функция и $U:\Omega \to \Omega$ преобразование, определяемое $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Рассмотрим вероятностную меру $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ где $U^{-1}$ обозначает прообраз.

Затем по $T\circ U= U\circ T^2$, считается, что $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$остается динамической системой, сохраняющей меру. Это тоже эргодично?

Изменить: каковы примеры вероятностных мер$\mathbb P$ на $\mathcal B(\Omega)$ и устанавливает $A\in\mathcal B(\Omega)$ такой, что $T^{-2}(A)=A$ но $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (и, следовательно, обязательно $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

Ответ отрицательный: пусть \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

Вероятность $\mathbb P$ соответствует неприводимой цепи Маркова на пространстве состояний $\{0,1\}$ с матрицей перехода $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ который имеет уникальное стационарное распределение $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. В свете ответа на этот математический.SE вопрос динамической системы$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$сохраняет меру и эргодичен (но не смешивает). Сейчас же,$T^{-1}(A)=A$ но $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ откуда $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.