Если $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ а также $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ для некоторых $\alpha \in \Phi$.
Это упражнение 10.10 из книги Хамфриса по алгебрам Ли.
Позволять $\Phi$ быть корневой системой, лежащей в евклидовом пространстве $E$ и разреши $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ быть основой для $\Phi$. Позволять$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ со всеми $k_i\geq 0$ или все $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Докажите, что либо $\lambda$ является кратным (возможно, 0) корнем, иначе существует $\sigma \in \mathscr W$ (Группа Вейля) такая, что $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ с некоторыми $k_i'>0$ и немного $k_i'<0$.
Он дает следующий совет: если $\lambda$ не делится на какой-либо корень, то гиперплоскость $P_\lambda$ ортогонален $\lambda$ не входит в $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Взять$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ а затем найти $\sigma \in \mathscr W$ для чего все $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
Я не мог доказать это$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$, хотя мне удалось закончить упражнение следующим образом. Принимая любой такой$\mu$, поскольку каждая точка в $E$ является $\mathscr W$-сопряженной точке в фундаментальной камере Вейля, существует $\sigma \in \mathscr W$ удовлетворение $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$как заявлено. В частности, каждый$\sigma \alpha_i \in \Phi$, поэтому мы можем написать $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ для некоторых (возможно новых) целых чисел $k_i'$. Сейчас же,$\mu \in P_\lambda$, так
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ подразумевает, что некоторые $k_i'>0$ и немного $k_i'<0$, как условия $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ все положительные.
Вопрос тогда: как доказать , что$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Все вычисления, которые я делал до сих пор, были бесполезны, вроде$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$не может ничего подразумевать. Я также попытался начать с простого $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ по предположению $\lambda - c\alpha\neq 0$ а также $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, но это только $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
Любая помощь? Спасибо.
Ответы
Лемма : если$H, H_1, ... H_r$ являются гиперплоскостями (т.е. $(n-1)$-мерные подпространства) в некоторых $n$-мерное пространство над бесконечным полем, и $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, тогда $H = H_j$ для некоторых $1 \le j \le r$.
Доказательство : по предположению имеем
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Теперь пересечение любых двух гиперплоскостей имеет размерность $n-2$если две гиперплоскости не равны. Но если все пространства в объединении на правой стороне равны$(n-2)$- размерные, их объединение не может быть$(n-1)$-мерное пространство на левой стороне. QED.
Чтобы применить это к вашей проблеме: Если $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, то по лемме существует корень $\alpha$ такой, что $P_\lambda = P_\alpha$, как следствие $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$, т.е. $\lambda$ является скалярным кратным $\alpha$.