Это правда, что $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Подсказка
Симметричная матрица $S=S^T$ имеет ортонормированные собственные векторы $\vec{v}_1$ к $\vec{v}_n$. Тогда любой вектор$\vec{x}$ можно записать как комбинацию $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Объясните эту формулу:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Мое объяснение:
$\vec{x}$ можно записать как $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Учитывать, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Мы видим, что ортонормированные собственные векторы $S$умножьте, чтобы получить диагональную матрицу собственных значений. Затем мы получаем внутреннее произведение векторных весов,$c^2$ термины, масштабированные по их собственным значениям.
Я очень доволен своим объяснением. Я не совсем понимаю, почему$V^{\,T}SV=\Lambda$... Мне кажется, что он должен соответствовать чему-то большему, например, $\Lambda^T \Lambda$ поскольку каждый собственный вектор должен был масштабироваться при умножении вправо, потому что $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Это правда, что $V^{\,T}SV=\Lambda$? Если это так, мы будем благодарны за небольшую помощь, чтобы понять, почему.
Как я думал об этом.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ Способ думать о $SV$ в том, что каждый столбец $V$ - собственный вектор, умножающий столбцы $S$. Чему будет эта комбинация, мы уже знаем по определению собственного вектора$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Наконец, при умножении справа на$V^T$ помни это $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ является $1$ когда $i=j$ и $0$ когда $i\neq j$ по определению быть ортонормированными векторами.
Ясно, что мы получаем $\Lambda$ в результате.
Ответы
Да, это правда, что $V^TSV = \Lambda$. Есть несколько способов понять, почему это так; один из способов - сравнить то, что каждая матрица «делает», с вектором-столбцом.
Позволять $\vec c$ обозначают вектор-столбец $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Подтвердите это$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Теперь рассмотрим продукт $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Мы находим, что$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ Другими словами, роль $V$ заключается в интерпретации записей $\vec c$ как коэффициенты векторов $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. Отсюда мы видим, что каждый$v_i$ является собственным вектором $S$, у нас есть $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Наконец, обратите внимание, что (потому что $V$ ортогонален) $V^T$ является инверсией $V$. Итак, так же, как$V$ интерпретирует "входной вектор" как список коэффициентов для $v_i$, $V^T$ берет вектор и дает нам список коэффициентов для $v_i$как его выход. То есть,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Так что действительно $V^TSV$ и $\Lambda$ описывают одно и то же преобразование и, следовательно, представляют собой одну и ту же матрицу.
Мы можем думать о $V^TSV$ как измененная версия $S$ где вместо того, чтобы думать о записях вектора (входных и выходных) как о буквальных координатах вектора, мы интерпретируем их как коэффициенты наших векторов. $v_i$. В терминах терминологии, которую вы, возможно, уже слышали раньше, мы говорим, что$\Lambda$ матрица $S$ «после смены основы».