Форсирование продукта симметричных систем
Учитывая семью принудительных понятий $(P_i)_{i\in I}$ мы можем взять товар $P:=\prod_{i\in I}P_i$ как принуждение к созданию универсального фильтра формы $G=(G_i)_{i\in I}$ так что для каждого $i\in I$ проекция $G_i$ соответствует общему фильтру, созданному при форсировании с $P_i$. Это называется форсированием продукта и позволяет нам объединить несколько разных типов общих объектов одновременно. (Более подробное обсуждение темы см. В разделе Принудительное использование продукта и общие объекты )
Теперь мой вопрос: можно ли и как форсирование продукта сочетать с симметричным форсированием. Предположим, у нас есть семейство понятий принуждения, как указано выше, и семейство групп$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ а также $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ такой, что $\mathcal{G}_i$ является подгруппой $Aut(P_i)$ и $\mathcal{F}_i$ это нормальный фильтр на $\mathcal{G}_i$ для всех $i\in I$. Можем ли мы просто определить$P$ как указано выше с $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ действующий на $P$ покомпонентно и $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ как обычный фильтр на $\mathcal{G}$ ?
Например, рассмотрим оригинальную симметричную модель Коэна. $ZF+\neg AC$ где он присоединяется к счетному множеству общих вещественных чисел, а затем переходит к построению бесконечного подмножества $A\subset \mathbb{R}$без каких-либо счетно бесконечных подмножеств. Тогда описанная выше конструкция должна позволить нам примыкать$I$ много таких наборов $(A_i)_{i\in I}$ однажды.
Есть ли какие-либо сложности, с которыми можно столкнуться при использовании конструкции этого типа (например, форсирование симметричного продукта)? Есть ли литература по этой теме?
Ответы
Да, в литературе об этом много. Хотя очень мало способов «абстрактного каркаса». Это то, что делалось в основном с самых первых дней форсинга, и вы можете найти доказательства этого в ранних работах.
В моих работах
Карагила, Асаф , Итерационные симметрические расширения , J. Symb. Журнал. 84, No. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Карагила, Асаф , Модель Морриса , Тр. Am. Математика. Soc. 148, № 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Вы можете найти более общее лечение. Продукты - это частный случай итерации, и в первой статье рассматривается случай, когда носитель конечен. Однако в случае продукта мы можем обойтись без некоторых трудностей, связанных с обобщением итераций на произвольные опоры, и часть работы выполняется во второй статье.
В дополнение к этому вы можете увидеть продукты, определенные «вручную» во многих местах, легко увидеть, что определения справедливы для любого вида симметричных систем (но продукты обычно используются с форсировками в стиле Коэна). Вот несколько недавних примеров, в основном из моей работы, которые довольно часто затрагивали эту тему, и более старые примеры.
Хают, Яир; Карагила, Асаф , Спектры однородности. , Комментарий. Математика. Univ. Кэрол. 60, No. 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Карагила, Асаф , Вложение приказов в кардиналы с помощью (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Фундамент. Математика. 226, № 2, 143–156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila А. , лемма Фодора может не везде , Acta Math. Повесили. 154, No. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Монро Г.П. , Результаты о независимости, касающиеся конечных по Дедекинду множеств , J. Aust. Математика. Soc., Сер. А 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Рогуски, Станислав , Собственный класс попарно несравнимых кардиналов , Коллок. Математика. 58, № 2, 163–166 (1990). ZBL0706.03038 .
Между всеми ними вы увидите конечные опоры, счетные (или $\kappa$-) поддерживает, Easton поддерживает, и вы увидите, что стремление к чему-то еще (теперь это просто смешанная поддержка другого рода, на самом деле то же самое).
Фактически, теперь у нас даже больше возможностей, поскольку мы можем говорить об изменении поддержки в продукте фильтров и групп. Вы могли бы подумать, что это означает, что мы можем сказать гораздо больше, но на самом деле это обычно не имеет значения.
В своей статье об итерациях я описал концепцию под названием «упорство». Ближе к концу моей докторской в одной из многих бесед, которые я провел с Яиром Хаютом, мы решили попытаться понять, что на самом деле скрывается за этой концепцией. И оказалось, что каждая симметричная система эквивалентна цепкой. А это означает, что игра с разными опорами (то есть конечной опорой на фильтрах при использовании Easton при форсировании) обычно просто эквивалентна любой самой маленькой опоре, которую вы используете. Не обязательно всегда, но обычно.
Что касается модели Коэна, это немного сложно. Каждый универсальный шаблон является настоящим, и мы заботимся не только о них, мы также заботимся о наборе всех универсальных шаблонов. Таким образом, это на самом деле не продукт, а скорее итерация добавления каждого реального, нарушающего выбор, не добавляя набор всех действительных чисел, а затем вынуждая добавить набор универсальных шаблонов без его упорядочивания. Все это значительно упрощает представление о нем как о едином расширении.