G-дельта-наборы и плотность

Question

Позволять $(X,d)$- метрическое пространство и полно. Так как$G_\delta$множества - это счетное пересечение открытых множеств. Так что если$G_\delta$ плотное множество в $X$ тогда означает ли это, что открытые множества, пересечение которых было $G_\delta$ также плотный.

Answer 1

Как мы с некоторыми пользователями указывали в комментариях, любой набор, содержащий плотный набор, должен быть плотным. Посмотрим почему:

Представить $D$ плотный и $D\subseteq A$. Возьмите любой открытый набор$U$. поскольку$D$ плотный, $D\cap U\neq\emptyset$, так что есть некоторые $x\in D\cap U$. потом$x\in D$ и $x\in U$. поскольку$D\subseteq A$, $x\in A$ тоже так $x\in A\cap U$. Все это просто говорит о том, что$D\subseteq A$ у нас есть $\emptyset\neq D\cap U\subseteq A\cap U$. поскольку$U$ был неспецифическим открытым набором, это работает для каждого открытого набора, поэтому мы заключаем, что $A$ тоже плотный.

Что касается вашего вопроса, как я уже сказал, если плотный набор $D$ это $G_\delta$, то это счетное пересечение открытых множеств: $D=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n$. поскольку$D=\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n\subseteq U_n$ для каждого $n$, у нас есть что каждый $U_n$ плотный.