Генераторы $S_4$

Question

Группа $S_4$ генерируется $\{(12), (1234)\}$.Теперь я хочу знать, как я буду генерировать цикл заказа $4$ и любой цикл заказа $3$ и заказать $2$.

Мой главный вопрос - найти количество гомоморфизмов, и если $\varphi(1234) \to -1$ а также $\varphi (12) \to -1$.

Тогда как я могу заключить отсюда, что любая нечетная перестановка пойдет в $-1$ и любой даже пойдет в $1$. (Это должно быть показано грубыми вычислениями, а не с помощью теорем о гомоморфизме).

Я действительно нуждаюсь в помощи.

Answer 1

Любая нечетная перестановка $π$ должно быть выражено как слово в $(12)$ а также $(1234)$ нечетной длины $n$, поскольку оба они нечетные. Таким образом$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, поскольку $\varphi$ является гомоморфизмом.

Answer 2

Используя теорию представлений (см. https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Я работал, разработал программу Python для обработки строк для умножения перестановок. Шаг за шагом я увеличивал размер подмножества нашей рабочей группы; есть одно и только одно стандартное представление.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Отсюда вы можете «снять» оставшиеся $5$ транспонирования и объясните, почему для любого транспонирования $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$