Интегральное ядро $e^{itH_{0}}$

Question

В квантовой механике эволюционировавшее во времени состояние одночастичной системы задается выражением $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, где $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ свободный гамильтониан, $t\in \mathbb{R}$ и $\Delta$- обычный оператор Лапласа. Я где-то видел, что оба$e^{itH_{0}}$ и $e^{tH_{0}}$имеют целые ядра, т. е. \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} и \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } где$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ и $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Вопрос: Как я могу доказать (\ ref {1}) и (\ ref {2})?

Answer 1

В основном у нас есть PDE $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Взяв преобразование Фурье в $\vec{x}$ аргумент приводит к ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ с раствором $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

Правая часть представляет собой произведение двух функций от $\vec{k}$ и, следовательно, является преобразованием Фурье свертки: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ где $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Если $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ тогда $\hat{u}$ можно преобразовать в результате $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

Таким образом, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$