Интерьер самолета в $\mathbb{R^3}$ пусто .

Question

Мне нужно доказать следующее:

Интерьер самолета в $\mathbb{R^3}$ , под $d_2$ метрика пуста.

($d((u_1,u_2,u_3), (v_1,v_2,v_3)) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 +(u_2 -v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2}$)

Пожалуйста, проверьте правильность моего доказательства.

Самолет в $\mathbb{R^3}$ дан кем-то : $ax + by + cz = d$ где $a,b,c \in \mathbb{R}$

Позволять $U =\{ax + by + cz = d|a,b,c \in \mathbb{R}, and (x,y,z) \in \mathbb{R^3}\}$

Предположим, что внутренняя часть $U$ не пусто, скажем $(x_0 ,y_0,z_0) \in \text{Int(U)}$

есть некоторые $r >o $ такой, что открытый мяч $B(t,r) \subseteq U$ где $t =(x_0 ,y_0,z_0)$

Ясно, $(x_0 +r/2,y_0,z_0) \in B(t,r)$

Итак, у нас есть $a(x_0 + r/2) + by_0 + cz_0 = d $

и $ax_0 + by_0 + cz_0 = d$ , вычитая эти два, получаем:

$a(r/2) = 0$, или $a =0$

Аналогично беру $(x_0,y_0+r/2,z_0) \in B(t,r)$ $(x_0,y_0,z_0+r/2) \in B(t,r)$ получить $b =c =0$

Итак, если интерьер $U$ непусто плоскость сводится к точке $\{0\}$, и это множество закрывается пустым интерьером.

Правильно ли мое доказательство? Скажите, есть ли ошибки в моих аргументах.

Спасибо.

Answer 1

Это почти правильно, но в конце есть проблема. Доказав, что$a=b=c=0$, вы писали, что «самолет сводится к мосту. $\{0\}$«. Не совсем. Напрашивается вывод, что плоскость определяется выражением$0=d$. Но это либо пустое множество (если$d\ne0$) или все пространство (если $d=0$). Поскольку вы предполагаете, что работаете по плану, вы пришли к противоречию.

Или вы можете с самого начала сказать, что самолет - это подмножество $\Bbb R^3$ формы$$\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid ax+by+cz=d\},$$где $a,b,c,d\in\Bbb R$ и числа $a$, $b$, и $c$ не все равны $0$(на мой взгляд, это естественное определение). Таким образом, вы получите противоречие несколько иначе.

Answer 2

Просто другой способ

Поскольку он не отвечает на вопрос, я хотел поставить его в качестве комментария, но там недостаточно места. Я надеюсь, что это нормально с сообществом

---

Предположим, что WLOG $d=0$. Позволять$U=\text{Span}\{u,v\}$ и $w$ ул $\mathbb R^3=\text{Span}\{u,v,w\}$. Взять$t\in U$. Тогда, если$\varepsilon >0$, $$t+\frac{\varepsilon }{2}w\in B(t,\varepsilon )\cap U^c\quad \text{and}\quad t+\frac{\varepsilon }{2}u\in B(t,\varepsilon )\cap U.$$ Следовательно, $t\in \partial U$ (где $\partial U$ обозначает границу $U$).

поскольку $t\in U $ не указано, мы доказали, что $U\subset \partial U$. Следовательно$\text{Int}(U)=\varnothing $.