Как вычислить $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ от $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ и $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?
Я смотрю на пример 4.10 (из главы X) книги Сильвермана «Арифметика эллиптических кривых» 2-го издания, в котором рассказывается о спуске через две изогении (предложение 4.9). Пример касается вычислений$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ для кривой $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ Кривая, которая $2$-изогенен для $E$ является $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$
У нас обычная изогения $\phi: E \to E'$ и двойная изогения $\hat \phi : E' \to E$ с участием $\hat \phi \circ \phi = 2$ (точные формулы определены в предложении 4.9).
Он считает, что $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ и $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$
Я хотел бы вычислить $2$-Сельмер группа $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$, и насколько я понимаю, мне нужно как-то объединить две приведенные выше информации (аналогично тому, как вы можете объединить $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ и $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ получить $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Может ли кто-нибудь объяснить, как я могу это сделать?
PS Я чувствую себя очень потрясенным этой книгой в целом, поэтому, если я все понял неправильно, пожалуйста, дайте мне знать.
Ответы
В вашем примере полезная информация, которая вам нужна, - это замечание X.4.7 и тот факт, что $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ поскольку соответствующие группы Тейта-Шафаревича тривиальны, идентификация через " $x$-координата »(кроме двух точек кручения $(0,0)$).
Итак, у нас есть замечание X.4.7, в котором говорится, что $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ точно, второй морфизм $\phi$.
Сейчас же, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ и карта $\phi$ отправляет $(0,0)$ к $0$ (бесконечно удаленная точка) (это, конечно, общее, так как $\phi$ посылка 2-изогении $(0,0)$ к $0$) и отправляет $(8,-32)$ к элементу $\phi(8,-32)$не $2$-кручение (которое я оставил вам вычислить).
Так $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Теперь вы можете использовать понравившееся описание элементов $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.
Изменить : в общем случае существует естественная точная последовательность$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ но я не уверен, что добавить в левую часть.
Один из возможных способов понять эту последовательность - заметить, что $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ группа неразветвленных накрытий Галуа $E$ с группой Галуа »$E[2]$"(и с точками локально везде), а 2-изогения происходит от $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: карта $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ соответствует карте "фиксации $\mathbb Z/2\mathbb Z$", как в обычной теории полей Галуа.
Карта $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ соответствует каждому неразветвленному покрытию Галуа $\psi:D\to E'$ из $E'$ с группой Галуа $\mathbb Z/2\mathbb Z$ покрытию Галуа $E$ через $\phi$, т.е. $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.