Какие полные решетки изоморфны произведению неприводимых решеток?
Учитывая любое семейство полных латексов $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ ул для всех $i\in I$ мы обозначаем $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ и $X=\prod_{i\in I}X_i$ обратите внимание, мы можем определить полную решетку $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (назовите это их продуктом) на $X$ ул $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, определенная для $a,b\in X$ следующим образом: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ также если $S\subseteq X$ тогда $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ и $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ кроме того, мы называем любую решетку с одним элементом тривиальной и говорим полную решетку $\mathfrak{L}$ неприводимо, если не существует семейства из двух или более нетривиальных полных решеток $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ ул $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Теперь, учитывая все вышесказанное, мой вопрос: когда полные решетки изоморфны произведению неприводимых решеток? Например, существуют ли «элементарные» или «полезные» критерии для определения этого? Каковы примеры полных решеток, не изоморфных какому-либо произведению неприводимых решеток? Может кто-нибудь дать мне несколько из них?
Совершенно очевидно, что любая конечная полная решетка изоморфна произведению неприводимых решеток, поскольку, если сама решетка неприводима, мы сделали иначе, мы можем разделить ее на две решетки, которые являются подрешетками родительского и, таким образом, выражаются в виде решеток на множествах, каждое из которых меньше родительский набор, таким образом повторяя этот процесс снова и снова, в конечном итоге предоставит нам семейство неприводимых решеток, продукт которых равен нашему родительскому (этот процесс должен завершиться, так как каждая из этих решеток будет на множествах меньшего размера, и по определению любая тривиальная решетка неприводима так что, если нам случится свести любую такую решетку к набору из одного элемента, мы закончим).
Кроме того, если какая-либо полная решетка $L_1\cong L_2\times L_3$это не изоморфна prdouct неприводимых решеток тогда$L_2$ или же $L_3$это не изоморфны произведение неприводимых решеток , таким образом, применяя предыдущий процесс , мы видим , любая решетка не изоморфны prdouct неприводимых решеток должны содержать бесконечное число подрешеток также не изоморфных произведение неприводимых решеток ..
Ответы
Для распределительных решеток есть довольно простой способ понять эти вопросы. А именно отметим, что если$L=A\times B$ является произведением двух решеток, элементы $(1,0)$ и $(0,1)$ являются дополнениями друг друга (их соединение $1$ и их встреча $0$). Наоборот, если$L$ является распределительной решеткой и $a,b\in L$ дополняют друг друга, то $L\cong A\times B$ где $A=\{x\in L:x\leq a\}$ и $B=\{x\in L:x\leq b\}$. Действительно, существует сохраняющая порядок отображение$f:L\to A\times B$ отображение $x$ к $(x\wedge a,x\wedge b)$ и карта $A\times B\to L$ отправка $(x,y)$ к $x\vee y$ обратен $f$ поскольку $L$ является распределительным.
Итак, дистрибутивная решетка неприводима тогда и только тогда, когда в ней нет нетривиальных дополняемых элементов. Множество дополняемых элементов в любой дистрибутивной решетке$L$ образует булеву алгебру, которую я назову $B(L)$. Более того, если дистрибутивная решетка$L$ это продукт $\prod_{i\in I} L_i$, тогда $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
В частности, если $L$ является произведением (нетривиальных) неприводимых решеток $\prod_{i\in I} L_i$, тогда $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, поскольку каждый $B(L_i)$ это просто двухэлементная решетка $\{0,1\}$. Более того,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ где $e_i\in L$ является $1$ на $i$я координата и $0$ на других, и эти элементы $e_i$ являются просто атомами булевой алгебры $B(L)$. При таком отождествлении проекция$L\to L_i$ это просто карта $x\mapsto x\wedge e_i$.
Таким образом, мы заключаем, что дистрибутивная решетка $L$ изоморфно произведению неприводимых решеток тогда и только тогда, когда отображение $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ является изоморфизмом, где $I$ это набор атомов $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, а $i$-я координата $f$ это карта $x\mapsto x\wedge i$. Если$L$ завершено, эти $L_i$также будет завершено автоматически. В частности, необходимое условие для$L$ быть изоморфным произведению неприводимых решеток означает $B(L)$ быть изоморфной булевой алгебре степенных множеств.
Так, например, если $L$ полная булева алгебра, не изоморфная степенному множеству, то $L$не является произведением неприводимых решеток. Для явного примера,$L$ может быть решеткой регулярных открытых подмножеств $\mathbb{R}$, или решетку борелевских подмножеств $\mathbb{R}$ по модулю множеств меры Лебега $0$. Для другого примера,$L$может быть решеткой открытых подмножеств канторова множества. потом$B(L)$ булева алгебра открыто-замкнутых подмножеств канторова множества, которая не имеет атомов (и даже не является полной).
Например, где $B(L)$ это силовой набор, но $L$ по-прежнему не является продуктом неприводимых решеток, вы можете взять $L$ быть решеткой открытых подмножеств $\beta\mathbb{N}$. потом$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, но его атомы - синглтоны $\{n\}$ за $n\in\mathbb{N}$ так что карта $L\to\prod_{i\in I}L_i$ как описано выше это карта $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ отправка открытого подмножества $\beta\mathbb{N}$ к его пересечению с $\mathbb{N}$, что не является инъекционным.