Кольца оценки $\mathbb{Q}$

Question

Вопрос: Какие бывают кольца оценки $\mathbb{Q}$?

Я начал читать кое-что по алгебраической геометрии из книги Дэниела Бампа. На самом деле у меня нет большого опыта в коммутативной алгебре (отсюда и выбор именно этой книги, поскольку в этом смысле она более замкнута). Это упражнение 2.2 из книги.

Определение, данное для оценочного кольца $R$ поля $F$ в том, что $R$ это подкольцо $F$ такой, что $x\in F\setminus\{0\}$ подразумевает $x\in R$ или же $x^{-1}\in R$. Я также знаю, что оценочные кольца местные.

Легко видеть, что подстроки вида $\{a/b\in \mathbb{Q}\; |\; p\nmid b\}$ (за $p$ простые числа) являются оценочными кольцами $\mathbb{Q}$. Так что вопрос сводится к тому, исчерпывают ли подобные кольца все оценочные кольца?$\mathbb{Q}$? Думаю, да. Есть ли прямой (элементарный) способ показать это?

Answer 1

Ответ - да, потому что оценочные кольца в поле также характеризуются тем свойством, что они являются максимальными подкольцами среди локальных подкольц для отношения доминирования (т. Е. Максимальный идеал меньшего кольца содержится в максимальном идеале большего кольца) .

Еще немного : любая подкольцо$V\subset\mathbf Q$ содержит $\mathbf Z$, и если $\mathfrak m$ максимальный идеал $V$, $\mathfrak m\cap\mathbf Z $ порождается простым числом $p$ и ясно $\mathbf Z_{(p)}$ преобладают $V$. Поскольку это еще и оценочное кольцо, по максимальности мы имеем$\mathbf Z_{(p)}=V$.