Конечность $\pi_n(Top/O)$
Для $n>4$ можно идентифицировать $\pi_n(Top/O)$ через теорию сглаживания как класс согласованности гладких структур на $S^n$где две структуры согласованы, если они ограничивают гладкую структуру на изделии с интервалом. Я видел, как утверждается, что эти гомотопические группы конечны, например, когда утверждается$BO \rightarrow BTop$ является рациональной эквивалентностью.
Хотелось бы использовать работу Кервера и Милнора, которая показывает конечность ориентированных гомотопических сфер, но я не вижу, как перейти от утверждения о типе диффеоморфизма к утверждению о классе соответствия. Верно ли, что согласованная сфера эквивалентна диффеоморфной? Из этого согласования следует, что диффеоморфизм верен по теореме о h-кобордизме, но я считаю, что для некоторых многообразий, по крайней мере, другой путь неверен.
Ответы
Здесь я, по сути, просто повторяю то, что Зибенманн написал в эссе V тома Кирби-Зибенмана, извлекая некоторые определения из ранних разделов:
Позволять $n \geq 5$. Благодаря работе Кирби и Зибенманна над подключением$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. Последнее - то, с чем мы будем работать. В разделе 5.3 пробел$\Omega^n Top(n)/O(n)$ отождествлялся с пространством сглаживания $S^n$относительно диска со стандартной гладкой структурой. Следовательно,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ - классы согласованности таких гладких структур.
Мы можем рассмотреть включение таких сглаживаний в гомотопические сглаживания $S^n$относительно диска (может быть, до х-кобордизма?). Сюръективность следует из гипотезы Пуанкаре, а инъективность - из того, что Зибенман называет «изотопией Александра», я не уверен, что это такое.
Тогда этот набор гомотопических сглаживаний $S^n$ относительно диска имеет отображение на группу ориентированных гомотопических сфер, заданных с помощью гомотопической эквивалентности для переноса ориентации $S^n$в гомотопическую сферу, а затем забывая о гомотопической эквивалентности. Это отображение сюръективно, так как любая гомотопическая сфера содержит в себе стандартный диск. Главное для демонстрации инъективности состоит в том, что до ориентации в нашей гомотопической сфере существует единственный изотопический класс погруженных дисков.
Эта цепочка биекций показывает, что $\pi_n(Top/O)$ за $n\geq 5$ является $\Theta_n$, группа ориентированных гомотопических сфер. Я думаю, что любая тонкость в этом доказательстве возникнет из-за того, что будет показано, что включение сглаживаний в гомотопические сглаживания является инъективным, поэтому я подробнее рассмотрю «изотопию Александера».