Кривая в сфере

Question

Позволять $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$- правильная кривая. Если существует точка$P\in\mathbb{R}^3$ так что линия, которая проходит через $P$ и $\alpha(t)$ перпендикулярна касательной в точке $\alpha$ в мгновение ока $t$ для любого $t$, то след $\alpha$ содержится в сфере.

Так как $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ и $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, тогда

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ для некоторых $c\geq0$.

Это правильно? Как я мог решить эту проблему без интеграции?

Answer 1

Вам даже не обязательно знать концепцию интеграции! Просто используйте тот факт, что$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$для каждого $t$, из чего следует, что $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ постоянно.