$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ подразумевает $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Aug 16 2020

Позволять $f$ - измеримая по Лебегу функция на $[0,1]$ с участием $f(x)>0$почти всюду
Предположим, что$\{E_k\}_k$ является последовательностью измеримых по Лебегу множеств в $[0,1]$ такой, что $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ Покажи то $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Мои наблюдения:
Пусть$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
потом $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$является счетным набором возрастающих измеримых подмножеств. И$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

Также как $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ - возрастающая последовательность множеств, имеем $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

Причем по отдельности имеем

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

Но я не понимаю, как использовать эти детали, чтобы прийти к окончательному ответу.
Ценю твою помощь

Ответы

2 JCAA Aug 17 2020 at 03:29

Позволять $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. Тогда каждый$B_n$ измеримое множество и $B=\cup B_n$имеет меру 1 по предположению. Теперь мера$E_k\cap B_n$ идет в $0$ в виде $k\to \infty$ для каждого $n$. Так$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$