Найдите длину PQ.

Question

---

Позволять $ABC$быть треугольником. Пусть внешняя биссектриса угла$A$ встретиться с описанной окружностью треугольника $ABC$ снова в $M \neq A$. Круг с центром$M$ и радиус $MB$ встречает внутреннюю биссектрису угла $A$ в точках $P$ и $Q$. Определите длину$PQ$ с точки зрения длины $AB$ и $AC$.

Может ли кто-нибудь предложить решение? Похоже, я не могу добиться значительного прогресса в этом вопросе.

Изменить: вот оригинальный проект, который я создал в Geogebra. Надеюсь, это проясняет диаграмму.

https://www.geogebra.org/classic/ezted9sg

Answer 1

Попробуйте это доказать ..

• Найдите длину $MA=2R\cos(\frac{A+2C}{2})$первый. ( Где$R$ - радиус описанной окружности треугольника.)

• Затем найдите $MB=2R\cos(\frac{A}{2})$ используя синусоидальный закон (погоня за углами) в $\triangle MAB$

• Наконец, примените теорему Пифагора в $\triangle MAQ$

$MQ^2-MA^2=MB^2-MA^2=AQ^2$ и $PQ=2AQ$