Найдите пределы 2 последовательностей

Question

У меня есть 2 последовательности, которые мне нужно найти предел. Но я не уверен, достаточно ли я доказал, что это правильно, или есть лучший способ сделать это.

(а) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$

(б) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , за $a,b \gt 0$

Так что для (а) у меня это с тех пор $(-1)^n$ограничено, при больших n это неактуально. Кроме того (я не знаю правильного термина для этого), поскольку$n^2$ доминирует по сравнению с $n$, для очень больших $n$, предел в основном $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.

Я не знаю, как это правильно написать, поскольку это кажется довольно неформальным и не доказанным.

для (б) я не совсем уверен. Сначала я попытался вычленить что-то, но далеко не продвинулся. Теперь я использовал$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Это приводит к$\frac{c}{3c-b^n}$. Но вот где я застрял. Как мне исходить из этого?

Answer 1

Для первой формализации используйте это

$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$

для второго у нас есть

$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$

затем рассмотрим случаи $a>b$, $a=b$ и $a<b$.

Answer 2

Подсказка: чтобы обосновать свой ответ: а) разделите все термины на $n^{2}$ и возьми предел.

Если $a>b$ разделить все условия на $a^{n}$. Вы видите, что предел$\frac 1 3$ (поскольку $(\frac b a)^{n} \to 0$). Если$a<b$ разделить на $b^{n}$ чтобы увидеть, что предел $\frac 2 5$. Если$a=b$ тогда предел $\frac {1+2} {3+5}$.